Bir fonksiyonun birebir olduğunu göstermenin yollarından biri de yatay doğru testidir. Buna göre, aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi yatay doğru testini geçemez?
A) f(x) = 2x + 3Bir fonksiyonun birebir (one-to-one) olup olmadığını anlamanın grafiksel yollarından biri Yatay Doğru Testi'dir. Bu testin temel mantığı şöyledir:
Şimdi seçeneklerde verilen fonksiyonları tek tek inceleyelim:
Bu bir doğrusal fonksiyondur. Grafiği, eğimi $2$ olan bir doğrudur. Bu doğruya çizilen herhangi bir yatay doğru, grafiği sadece bir noktada keser. Dolayısıyla, $f(x) = 2x + 3$ yatay doğru testini geçer.
Bu bir kübik fonksiyondur. Grafiği sürekli artan bir eğridir. Bu eğriye çizilen herhangi bir yatay doğru, grafiği sadece bir noktada keser. Dolayısıyla, $f(x) = x^3$ yatay doğru testini geçer.
Bu bir sabit fonksiyondur. Grafiği, $y$-eksenini $5$ noktasında kesen ve $x$-eksenine paralel olan yatay bir doğrudur. Şimdi bu fonksiyonun grafiği olan $y=5$ doğrusuna bir yatay doğru çizdiğimizi düşünelim. Eğer çizdiğimiz yatay doğru da $y=5$ doğrusu ise, bu doğru fonksiyonun grafiğiyle sonsuz sayıda noktada kesişir (çünkü grafik zaten o doğrunun kendisidir). Yatay doğru testini geçememek için grafiği birden fazla noktada kesen tek bir yatay doğru bulmak yeterlidir. $y=5$ doğrusu, $f(x)=5$ fonksiyonunun grafiğini sonsuz noktada kestiği için, bu fonksiyon yatay doğru testini geçemez.
Bu bir küpkök fonksiyondur. Grafiği sürekli artan bir eğridir ve $f(x) = x^3$ fonksiyonunun tersidir. Bu eğriye çizilen herhangi bir yatay doğru, grafiği sadece bir noktada keser. Dolayısıyla, $f(x) = \sqrt[3]{x}$ yatay doğru testini geçer.
Yukarıdaki incelemelere göre, $f(x) = 5$ fonksiyonu yatay doğru testini geçemeyen tek fonksiyondur çünkü grafiği olan $y=5$ doğrusu, $y=5$ yatay doğrusu tarafından sonsuz noktada kesilir.
Cevap C seçeneğidir.
