Birebir fonksiyon nedir Test 1

Gerçek sayılarda tanımlı f(x) = 3ˣ fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Birebir değildir çünkü her zaman pozitif değer alır
B) Birebirdir çünkü üstel fonksiyonlar birebirdir
C) Birebir değildir çünkü x yerine negatif sayılar yazılamaz
D) Birebirdir çünkü grafiği x eksenine paraleldir

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

Öncelikle "birebir fonksiyon" ne demek, onu hatırlayalım:

• Birebir Fonksiyon Tanımı: Bir fonksiyonun birebir (enjektif) olması demek, tanım kümesindeki farklı elemanların, değer kümesinde farklı görüntülere sahip olması demektir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Başka bir deyişle, hiçbir farklı $x$ değeri aynı $y$ değerine gitmemelidir.

Şimdi de seçenekleri inceleyelim:

• A) Birebir değildir çünkü her zaman pozitif değer alır

  Bu ifade doğru değil. Bir fonksiyonun sadece pozitif değerler alması, birebir olmadığı anlamına gelmez. Örneğin, $f(x) = x^2$ fonksiyonu pozitif değerler alır ama birebir değildir (çünkü $f(2) = f(-2) = 4$). Ancak, bu sorudaki fonksiyonumuz farklı.

• B) Birebirdir çünkü üstel fonksiyonlar birebirdir

  Bu ifade doğru. $f(x) = 3^x$ bir üstel fonksiyondur ve üstel fonksiyonlar (tabanı 1'den farklı pozitif bir sayı olanlar) her zaman birebirdir. Çünkü $x$ değeri arttıkça $3^x$ değeri de sürekli artar veya azalır (bu durumda artar) ve hiçbir $y$ değeri için birden fazla $x$ değeri bulunmaz.

• C) Birebir değildir çünkü x yerine negatif sayılar yazılamaz

  Bu ifade yanlış. $f(x) = 3^x$ fonksiyonunda $x$ yerine negatif sayılar yazılabilir. Örneğin, $f(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$ olur. Ayrıca, $x$ yerine negatif sayı yazılamaması, fonksiyonun birebir olup olmamasıyla doğrudan ilgili bir durum değildir.

• D) Birebirdir çünkü grafiği x eksenine paraleldir

  Bu ifade yanlış. $f(x) = 3^x$ fonksiyonunun grafiği x eksenine paralel değildir. Üstel fonksiyonların grafikleri genellikle artan veya azalan bir eğri şeklindedir. X eksenine paralel olan doğrular sabit fonksiyonları temsil eder ve onlar da birebir değildir.

Bu nedenle, doğru cevap B seçeneğidir.