Bir matematik öğretmeni tahtaya "Birebir fonksiyon, tanım kümesindeki farklı elemanları değer kümesindeki farklı elemanlara götüren fonksiyondur" yazmıştır. Buna göre aşağıdaki örneklerden hangisi bu tanıma uygun değildir?
A) f: {1,2,3} → {a,b,c} için f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c
B) f: {1,2,3} → {a,b,c,d} için f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c
C) f: {1,2,3} → {a,b} için f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a
D) f: {1,2,3} → {a,b,c,d} için f(1)=a, f(2)=b, f(3)=d
Sevgili öğrenciler, bu soruda birebir fonksiyon kavramını anlamamız ve verilen örneklerden hangisinin bu tanıma uymadığını bulmamız isteniyor.
Öncelikle, bir fonksiyonun birebir (injektif) olması ne anlama geliyor, hatırlayalım:
- Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki her farklı elemanın, değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi gerekir.
- Yani, eğer $x_1$ ve $x_2$ tanım kümesinde farklı iki elemansa ($x_1 \neq x_2$), o zaman bu elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir ($f(x_1) \neq f(x_2)$).
- Başka bir deyişle, eğer iki elemanın görüntüsü aynıysa ($f(x_1) = f(x_2)$), o zaman bu elemanların kendileri de aynı olmak zorundadır ($x_1 = x_2$).
Şimdi seçenekleri bu tanıma göre adım adım inceleyelim:
- A) $f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c\}$ için $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$
Tanım kümesindeki elemanlar $1, 2, 3$ farklıdır. Bu elemanların değer kümesindeki görüntüleri $a, b, c$ de farklıdır. Her farklı eleman farklı bir görüntüye gittiği için bu bir birebir fonksiyondur.
- B) $f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}$ için $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$
Tanım kümesindeki elemanlar $1, 2, 3$ farklıdır. Bu elemanların değer kümesindeki görüntüleri $a, b, c$ de farklıdır. Değer kümesinde kullanılmayan bir 'd' elemanı olması, fonksiyonun birebir olma özelliğini etkilemez. Her farklı eleman farklı bir görüntüye gittiği için bu bir birebir fonksiyondur.
- C) $f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b\}$ için $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=a$
Burada tanım kümesindeki $1$ ve $3$ elemanları farklıdır ($1 \neq 3$). Ancak, bu elemanların değer kümesindeki görüntüleri aynıdır ($f(1)=a$ ve $f(3)=a$). Birebir fonksiyon tanımına göre, farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıydı. Bu durum tanıma aykırıdır. Bu fonksiyon birebir değildir.
- D) $f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}$ için $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=d$
Tanım kümesindeki elemanlar $1, 2, 3$ farklıdır. Bu elemanların değer kümesindeki görüntüleri $a, b, d$ de farklıdır. Her farklı eleman farklı bir görüntüye gittiği için bu bir birebir fonksiyondur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, C seçeneğindeki fonksiyonun tanım kümesindeki farklı elemanları ($1$ ve $3$) değer kümesindeki aynı elemana ($a$) götürdüğünü görüyoruz. Bu durum, birebir fonksiyon tanımına aykırıdır.
Cevap C seçeneğidir.
