Bir mühendislik öğrencisi, hız-zaman grafiğinden konum-zaman fonksiyonunu bulmak istiyor. Hız fonksiyonu $v(t) = 2t + 3$ olarak verildiğine göre, konum fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) $s(t) = t^2 + 3t + 5$Sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir cismin hız fonksiyonu verildiğinde, konum fonksiyonunu nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Hız ve konum arasındaki ilişkiyi anlamak, mühendislik ve fizik gibi alanlarda temel bir beceridir.
Fizikte, bir cismin anlık hızı ($v(t)$), o cismin konum fonksiyonunun ($s(t)$) zamana göre türevidir. Yani, $v(t) = \frac{ds}{dt}$'dir. Bu durumda, hız fonksiyonu verildiğinde konum fonksiyonunu bulmak için türevin tersi işlemi olan integrali almamız gerekir. Kısacası, konum fonksiyonu, hız fonksiyonunun integralidir.
Soruda bize hız fonksiyonu $v(t) = 2t + 3$ olarak verilmiştir.
Konum fonksiyonu $s(t)$'yi bulmak için, hız fonksiyonu $v(t)$'nin zamana göre integralini almalıyız:
$s(t) = \int v(t) dt$
$s(t) = \int (2t + 3) dt$
İntegral alma kurallarını uygulayalım:
Öncelikle $2t$'nin integralini alalım: $\int 2t dt = 2 \int t^1 dt = 2 \left( \frac{t^{1+1}}{1+1} \right) = 2 \left( \frac{t^2}{2} \right) = t^2$.
Ardından $3$'ün integralini alalım: $\int 3 dt = 3t$.
Bu integralleri birleştirdiğimizde, genel konum fonksiyonunu elde ederiz. Ancak, belirsiz integral aldığımız için bir integral sabiti ($C$) eklemeyi unutmamalıyız. Bu sabit, cismin başlangıç konumunu veya herhangi bir anda sahip olduğu sabit bir konum değerini temsil eder.
Böylece konum fonksiyonumuz:
$s(t) = t^2 + 3t + C$
Şimdi bulduğumuz genel konum fonksiyonunu ($s(t) = t^2 + 3t + C$) verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $s(t) = t^2 + 3t + 5$
B) $s(t) = 2t^2 + 3t$
C) $s(t) = t^2 + 3$
D) $s(t) = 2t + 3$
Görüldüğü gibi, A seçeneği bizim bulduğumuz genel form ile tamamen uyumludur, burada integral sabiti $C=5$ olarak alınmıştır. Diğer seçenekler ya yanlış türev alınmış hallerdir ya da integral sabiti veya terimler eksiktir.
Cevap A seçeneğidir.
