9. Aynı miktarda su ile doldurulmuş üç bidonun sırasıyla \(\frac{3}{4}\)'ü, \(\frac{3}{8}\)'i ve \(\frac{3}{6}\)'sı kullanılıyor.
Buna göre hangi bidonda daha fazla su kalmıştır?
Bu problemde, başlangıçta aynı miktarda su bulunan üç bidonun her birinden farklı oranlarda su kullanıldığını ve hangi bidonda daha fazla su kaldığını bulmamız isteniyor. Bu tür kesir problemlerini çözerken, bütünden çıkarılan kısmı bulduktan sonra kalan kısmı hesaplamak en doğru yaklaşımdır. Haydi adım adım çözelim:
Bir bidonun tamamı, kesir olarak $1$ veya paydası ne ise o sayı bölü o sayı şeklinde ifade edilir (örneğin $\frac{4}{4}$, $\frac{8}{8}$, $\frac{6}{6}$).
Buna göre:
Birinci bidonun $\frac{3}{4}$'ü kullanılmış.
İkinci bidonun $\frac{3}{8}$'i kullanılmış.
Üçüncü bidonun $\frac{3}{6}$'sı kullanılmış.
Kalan su miktarını bulmak için, bidonun tamamından (yani $1$'den) kullanılan kesri çıkarmamız gerekir.
Birinci bidon için: Tamamı $\frac{4}{4}$'tür. Kullanılan $\frac{3}{4}$ olduğuna göre, kalan su miktarı: $1 - \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$'tür.
İkinci bidon için: Tamamı $\frac{8}{8}$'dir. Kullanılan $\frac{3}{8}$ olduğuna göre, kalan su miktarı: $1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$'dir.
Üçüncü bidon için: Tamamı $\frac{6}{6}$'dır. Kullanılan $\frac{3}{6}$ olduğuna göre, kalan su miktarı: $1 - \frac{3}{6} = \frac{6}{6} - \frac{3}{6} = \frac{3}{6}$'tür. Bu kesri sadeleştirebiliriz: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$'dir.
Şimdi elimizde üç farklı kesir var: $\frac{1}{4}$ (birinci bidon), $\frac{5}{8}$ (ikinci bidon) ve $\frac{1}{2}$ (üçüncü bidon). Bu kesirleri karşılaştırabilmek için paydalarını eşitlememiz gerekir. Paydaların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. 4, 8 ve 2'nin EKOK'u 8'dir.
Birinci bidonun kalanı: $\frac{1}{4}$ kesrini paydası 8 olacak şekilde genişletelim. Pay ve paydayı 2 ile çarparız: $\frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$.
İkinci bidonun kalanı: $\frac{5}{8}$ kesrinin paydası zaten 8'dir.
Üçüncü bidonun kalanı: $\frac{1}{2}$ kesrini paydası 8 olacak şekilde genişletelim. Pay ve paydayı 4 ile çarparız: $\frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$.
Şimdi bidonlarda kalan su miktarlarını aynı paydada ifade ettik:
Birinci bidonda kalan: $\frac{2}{8}$
İkinci bidonda kalan: $\frac{5}{8}$
Üçüncü bidonda kalan: $\frac{4}{8}$
Paydaları eşit olan kesirlerde, payı büyük olan kesir daha büyüktür. Bu durumda, $5 > 4 > 2$ olduğu için, $\frac{5}{8}$ kesri en büyüktür. Bu da ikinci bidonda en fazla su kaldığı anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
