Birim çember nedir Test 1

\( \theta \) dar açı olmak üzere, birim çemberde \( \cos{\theta} = \frac{2}{3} \) ise \( \sin{\theta} \) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( \frac{1}{3} \)
B) \( \frac{\sqrt{5}}{3} \)
C) \( \frac{\sqrt{7}}{3} \)
D) \( \frac{4}{9} \)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyerek çözelim. Trigonometride temel bir özdeşliği kullanarak sonuca kolayca ulaşabiliriz.

• 1. Adım: Temel Trigonometrik Özdeşliği Hatırlayalım

  Birim çemberde herhangi bir $ \theta $ açısı için geçerli olan en temel trigonometrik özdeşlik şudur:

  $ \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 $

  Bu özdeşlik, birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $(x, y)$ olmak üzere $x = \cos{\theta}$ ve $y = \sin{\theta}$ olduğundan ve birim çemberin denklemi $x^2 + y^2 = 1$ olduğundan gelir. Yani, $ (\cos{\theta})^2 + (\sin{\theta})^2 = 1 $.

• 2. Adım: Verilen Değeri Özdeşlikte Yerine Koyalım

  Soruda bize $ \cos{\theta} = \frac{2}{3} $ olarak verilmiş. Bu değeri özdeşlikte yerine yazalım:

  $ \sin^2{\theta} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 $

• 3. Adım: Kare Alma İşlemini Yapalım

  $ \left(\frac{2}{3}\right)^2 $ ifadesinin karesini alalım:

  $ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} $

  Şimdi özdeşliğimiz şu hale geldi:

  $ \sin^2{\theta} + \frac{4}{9} = 1 $

• 4. Adım: $ \sin^2{\theta} $ Değerini Bulalım

  $ \sin^2{\theta} $ değerini yalnız bırakmak için $ \frac{4}{9} $ ifadesini eşitliğin diğer tarafına atalım (çıkaralım):

  $ \sin^2{\theta} = 1 - \frac{4}{9} $

  Sağ taraftaki çıkarma işlemini yapmak için $ 1 $ sayısını $ \frac{9}{9} $ olarak yazabiliriz:

  $ \sin^2{\theta} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} $

  $ \sin^2{\theta} = \frac{9 - 4}{9} $

  $ \sin^2{\theta} = \frac{5}{9} $

• 5. Adım: $ \sin{\theta} $ Değerini Bulalım

  $ \sin^2{\theta} = \frac{5}{9} $ olduğuna göre, $ \sin{\theta} $ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

  $ \sin{\theta} = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} $

  $ \sin{\theta} = \pm\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} $

  $ \sin{\theta} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $

• 6. Adım: Açının Dar Açı Olma Durumunu Değerlendirelim

  Soruda $ \theta $ açısının bir dar açı olduğu belirtilmiş. Dar açı, $0^\circ$ ile $90^\circ$ (veya $0$ ile $rac{\pi}{2}$ radyan) arasındaki açılardır. Bu aralıktaki açılar için hem sinüs hem de kosinüs değerleri pozitiftir.

  Bu nedenle, $ \sin{\theta} $ değeri pozitif olmalıdır.

  $ \sin{\theta} = \frac{\sqrt{5}}{3} $

Bulduğumuz bu değer, seçenekler arasında B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.