Sonlu küme ve sonsuz küme nedir Test 1

Bir matematik öğretmeni tahtaya şu ifadeyi yazmıştır: "Eleman sayısı 0 veya doğal sayı olarak ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir."
Buna göre aşağıdaki kümelerden hangisi bu tanıma göre sonlu küme değildir?

A) {x | x ∈ Z ve -5 < x < 3}
B) {x | x ∈ N ve x < 100}
C) {x | x ∈ R ve 0 ≤ x ≤ 1}
D) {x | x = 2k, k ∈ N ve k < 20}

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bize verilen "sonlu küme" tanımına göre hangi kümenin sonlu olmadığını bulmamız isteniyor. Öncelikle tanımı dikkatlice inceleyelim:

"Eleman sayısı 0 veya doğal sayı olarak ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir."

Bu tanıma göre, bir kümenin elemanlarını sayabiliyor ve bu sayma işlemi bir noktada bitiyorsa (yani eleman sayısı belirli bir doğal sayıya eşitse veya hiç elemanı yoksa), o küme sonlu bir kümedir. Eğer elemanları saymaya başladığımızda bu sayma işlemi hiç bitmiyorsa, yani sonsuz sayıda elemanı varsa, o küme sonlu değildir (yani sonsuz bir kümedir).

Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve eleman sayılarını bulmaya çalışalım:

• A) $ \{x | x \in Z \text{ ve } -5 < x < 3\} $

  Bu küme, $ -5 $ ile $ 3 $ arasındaki tam sayılardan ($ Z $) oluşur. Bu tam sayılar şunlardır: $ \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\} $. Bu kümenin eleman sayısı $ 7 $ adettir. $ 7 $ bir doğal sayı olduğu için bu küme sonlu bir kümedir.

• B) $ \{x | x \in N \text{ ve } x < 100\} $

  Bu küme, $ 100 $'den küçük doğal sayılardan ($ N $) oluşur. Doğal sayılar genellikle $ \{1, 2, 3, ...\} $ olarak kabul edilir (bazı kaynaklarda $ 0 $ da dahil edilebilir, ancak bu sorunun cevabını değiştirmez). Bu durumda kümenin elemanları şunlardır: $ \{1, 2, 3, ..., 99\} $. Bu kümenin eleman sayısı $ 99 $ adettir. $ 99 $ bir doğal sayı olduğu için bu küme sonlu bir kümedir.

• C) $ \{x | x \in R \text{ ve } 0 \leq x \leq 1\} $

  Bu küme, $ 0 $ ile $ 1 $ arasındaki ( $0$ ve $1$ dahil) gerçek sayılardan ($ R $) oluşur. Gerçek sayılar, sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil eder. $ 0 $ ile $ 1 $ arasında sonsuz sayıda gerçek sayı vardır. Örneğin, $ 0.1, 0.01, 0.001, \sqrt{0.5}, \frac{1}{3} $ gibi sayılar bu aralıktadır ve bu şekilde sonsuz farklı sayı yazabiliriz. Bu kümenin eleman sayısı bir doğal sayı olarak ifade edilemez, çünkü elemanları sayma işlemi asla bitmez. Dolayısıyla bu küme sonlu değildir, yani sonsuz bir kümedir.

• D) $ \{x | x = 2k, k \in N \text{ ve } k < 20\} $

  Bu küme, $ k $ doğal sayı ($ N $) olmak üzere $ k < 20 $ koşulunu sağlayan $ k $ değerleri için $ 2k $ şeklinde ifade edilen sayılardan oluşur. $ k $ değerleri şunlardır: $ \{1, 2, 3, ..., 19\} $. Bu $ k $ değerlerini kullanarak kümenin elemanlarını bulalım: $ \{2 \times 1, 2 \times 2, ..., 2 \times 19\} = \{2, 4, 6, ..., 38\} $. Bu kümenin eleman sayısı $ 19 $ adettir. $ 19 $ bir doğal sayı olduğu için bu küme sonlu bir kümedir.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki kümenin eleman sayısının bir doğal sayı olarak ifade edilemediğini, yani sonsuz sayıda elemanı olduğunu gördük. Bu nedenle, C seçeneğindeki küme verilen tanıma göre sonlu bir küme değildir.

Cevap C seçeneğidir.