10. Sınıf 30-60-90 ve 45-45-90 Üçgeni Trigonometrik Oranları Test 1

Bir sanatçı, bir sergi için özel bir panel tasarlamaktadır. Panelde, yerden belirli bir yükseklikteki bir noktadan iki farklı ip gerilmiştir. İlk ip, yerle $45^\circ$ açı yaparken, ikinci ip yerle $60^\circ$ açı yapmaktadır. İplerin yere değdiği noktalar arasındaki mesafe $ (\sqrt{3} - 1) $ metre olduğuna göre, iplerin gerildiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?

A) $1$
B) $\sqrt{2}$
C) $\sqrt{3}$
D) $2$

İşte bu soruyu adım adım çözelim:

• Adım 1: Şekli Çizmek ve Değişkenleri Tanımlamak
Panelin şematik bir çizimini yapalım. İplerin gerildiği noktanın yerden yüksekliğine $h$ diyelim. İlk ipin yere değdiği nokta A, ikinci ipin yere değdiği nokta B olsun. İplerin gerildiği nokta ise C olsun. A ve B noktaları arasındaki mesafe $(\sqrt{3} - 1)$ metre olarak verilmiş.
• Adım 2: Dik Üçgenleri Oluşturmak
C noktasından yere dik bir doğru çizelim ve bu noktanın yerdeki karşılığına D diyelim. Böylece CDA ve CDB dik üçgenlerini elde ederiz. CDA üçgeninde $\angle CAD = 45^\circ$, CDB üçgeninde ise $\angle CBD = 60^\circ$ olur.
• Adım 3: Trigonometriyi Kullanmak
CDA dik üçgeninde, $\angle CAD = 45^\circ$ olduğundan, bu bir ikizkenar dik üçgendir. Dolayısıyla $AD = CD = h$ olur. CDB dik üçgeninde ise $\tan(60^\circ) = \frac{CD}{BD}$'dir. $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ olduğundan, $\sqrt{3} = \frac{h}{BD}$ olur. Buradan $BD = \frac{h}{\sqrt{3}}$ elde ederiz.
• Adım 4: Denklemi Kurmak
A ve B noktaları arasındaki mesafe $(\sqrt{3} - 1)$ metre olarak verilmişti. Bu mesafe $AD - BD$ veya $BD - AD$ olabilir. Şekilden $AD > BD$ olduğu anlaşılıyor. Dolayısıyla $AD - BD = \sqrt{3} - 1$ olmalıdır. $h - \frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$ denklemini elde ederiz.
• Adım 5: Denklemi Çözmek
Denklemi $h$ parantezine alırsak: $h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3} - 1$ $h(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3} - 1$ Her iki tarafı $(\sqrt{3} - 1)$'e bölersek: $\frac{h}{\sqrt{3}} = 1$ Buradan $h = \sqrt{3}$ metre bulunur.

Cevap C seçeneğidir.