Bir öğrenci, reel sayılarla ilgili aşağıdaki özellikleri yazmıştır:
I. Toplama işleminin değişme özelliği vardır
II. Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır
III. Çıkarma işleminin değişme özelliği vardır
IV. Bölme işleminin birleşme özelliği vardır
Bu özelliklerden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I, II ve III
D) I, II, III ve IV
Reel sayılarla ilgili verilen özellikleri tek tek inceleyelim ve hangilerinin doğru olduğunu bulalım. Bu, matematiksel işlemlerin temel kurallarını anlamak için önemli bir adımdır.
- I. Toplama işleminin değişme özelliği vardır: Bu özellik, iki sayıyı toplarken sayıların sırasının sonucu değiştirmediğini ifade eder. Yani, herhangi iki reel sayı $a$ ve $b$ için $a + b = b + a$ eşitliği her zaman doğrudur. Örneğin, $3 + 5 = 8$ ve $5 + 3 = 8$ olduğundan, bu özellik doğrudur.
- II. Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır: Bu özellik, üç veya daha fazla sayıyı çarparken, hangi iki sayının önce çarpıldığının sonucu değiştirmediğini ifade eder. Yani, herhangi üç reel sayı $a$, $b$ ve $c$ için $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ eşitliği her zaman doğrudur. Örneğin, $(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ ve $2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$ olduğundan, bu özellik doğrudur.
- III. Çıkarma işleminin değişme özelliği vardır: Bu özellik, iki sayıyı çıkarırken sayıların sırasının sonucu değiştirip değiştirmediğini inceler. Yani, herhangi iki reel sayı $a$ ve $b$ için $a - b = b - a$ eşitliği her zaman doğru mudur? Bir örnekle kontrol edelim: $5 - 3 = 2$ iken $3 - 5 = -2$'dir. $2 \neq -2$ olduğundan, çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur. Bu özellik yanlıştır.
- IV. Bölme işleminin birleşme özelliği vardır: Bu özellik, üç veya daha fazla sayıyı bölerken, hangi iki sayının önce bölündüğünün sonucu değiştirip değiştirmediğini inceler. Yani, herhangi üç reel sayı $a$, $b$ ve $c$ için $(a \div b) \div c = a \div (b \div c)$ eşitliği her zaman doğru mudur? Bir örnekle kontrol edelim: $a=12$, $b=6$, $c=2$ alalım. $(12 \div 6) \div 2 = 2 \div 2 = 1$'dir. Diğer yandan $12 \div (6 \div 2) = 12 \div 3 = 4$'tür. $1 \neq 4$ olduğundan, bölme işleminin birleşme özelliği yoktur. Bu özellik yanlıştır.
Sonuç olarak, verilen özelliklerden sadece I ve II numaralı olanlar doğrudur.
Cevap B seçeneğidir.
