Reel sayıların özellikleri 9. sınıf yeni müfredat

Question

Bu konuyu yeni müfredata göre çalışıyorum ama reel sayıların diğer sayı kümeleriyle ilişkisini tam olarak oturtamadım. Özellikle rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi olduğunu biliyorum ama bu özelliklerin ispatlarında ve işlem sıralamasında zorlanıyorum.

Answer 1

Reel Sayıların Özellikleri

Reel sayılar, matematikte en sık kullandığımız sayı kümesidir. Bu küme, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar olmak üzere ikiye ayrılır. Sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelen her sayı bir reel sayıdır.

Reel Sayılar Kümesinin Alt Kümeleri

• Doğal Sayılar (N): \( \{0, 1, 2, 3, ...\} \)
• Tam Sayılar (Z): \( \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} \)
• Rasyonel Sayılar (Q): \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılardır (\( a \) ve \( b \) tam sayı, \( b \neq 0 \)). Örnek: \( 2, \frac{3}{4}, -0.5, 0.\overline{3} \)
• İrrasyonel Sayılar (Q'): Rasyonel olmayan reel sayılardır. Virgülden sonrası düzensiz ve sonsuz devam eder. Örnek: \( \pi, \sqrt{2}, e \)

Reel Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri

• Kapalılık Özelliği: İki reel sayının toplamı yine bir reel sayıdır. \( a \in R \) ve \( b \in R \) ise \( a + b \in R \)
• Değişme Özelliği: Toplama işleminde sayıların yeri değişse de sonuç değişmez. \( a + b = b + a \)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla sayı toplanırken, işlem sırası sonucu değiştirmez. \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
• Etkisiz (Birim) Eleman: Toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır. Bir sayıyı 0 ile topladığımızda sonuç sayının kendisine eşittir. \( a + 0 = a \)
• Ters Eleman: Her reel sayının toplama işlemine göre tersi vardır. Bir sayının toplamaya göre tersi, işareti tersi olan sayıdır. \( a + (-a) = 0 \)

Reel Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri

• Kapalılık Özelliği: İki reel sayının çarpımı yine bir reel sayıdır. \( a \in R \) ve \( b \in R \) ise \( a \cdot b \in R \)
• Değişme Özelliği: Çarpma işleminde sayıların yeri değişse de sonuç değişmez. \( a \cdot b = b \cdot a \)
• Birleşme Özelliği: Üç veya daha fazla sayı çarpılırken, işlem sırası sonucu değiştirmez. \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
• Etkisiz (Birim) Eleman: Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1'dir. Bir sayıyı 1 ile çarptığımızda sonuç sayının kendisine eşittir. \( a \cdot 1 = a \)
• Ters Eleman: Sıfır hariç her reel sayının çarpma işlemine göre tersi vardır. Bir sayının çarpmaya göre tersi, o sayının çarpımsal tersidir (1 bölü sayı). \( a \cdot \frac{1}{a} = 1 \) (\( a \neq 0 \))
• Çarpmanın Toplama Üzerine Dağılma Özelliği: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)

Sıralama Özellikleri

Reel sayılar kümesinde "<" (küçüktür) ve ">" (büyüktür) sembolleriyle bir sıralama ilişkisi vardır. Sayı doğrusu üzerinde sağa doğru gidildikçe sayılar büyür.

• \( a < b \) ve \( b < c \) ise \( a < c \)'dir. (Geçişlilik Özelliği)
• \( a < b \) ise \( a + c < b + c \)
• \( a < b \) ve \( c > 0 \) ise \( a \cdot c < b \cdot c \)
• \( a < b \) ve \( c < 0 \) ise \( a \cdot c > b \cdot c \) (Eşitsizlik, negatif bir sayı ile çarpıldığında yön değiştirir.)

Bu özellikler, reel sayılarla işlem yaparken ve denklem- eşitsizlik çözerken temel kurallarımızı oluşturur.

Answer 2

Reel Sayıların Özellikleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki işlemleri yazmıştır:
I. \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \)
II. \( \pi \times 1 = \pi \)
III. \( \frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{3}{5} \)
IV. \( (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2 + (\sqrt{3} + \sqrt{3}) \)
Bu işlemler reel sayılarda hangi özelliklere örnek olarak verilebilir?
a) I. Ters eleman, II. Etkisiz eleman, III. Değişme, IV. Birleşme
b) I. Ters eleman, II. Değişme, III. Birleşme, IV. Etkisiz eleman
c) I. Birleşme, II. Etkisiz eleman, III. Ters eleman, IV. Değişme
d) I. Etkisiz eleman, II. Ters eleman, III. Birleşme, IV. Değişme
e) I. Değişme, II. Birleşme, III. Etkisiz eleman, IV. Ters eleman
Cevap: a
Çözüm: I. Bir sayı ile toplamsal tersinin toplamı 0'dır (ters eleman). II. Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir (çarpma işleminin etkisiz elemanı). III. Toplama işleminde sayıların yeri değişebilir (değişme özelliği). IV. Toplama işleminde gruplama değişebilir (birleşme özelliği).

Soru 2: \( a = 2\sqrt{3} \), \( b = \frac{1}{2\sqrt{3}} \) ve \( c = -\sqrt{12} \) sayıları veriliyor. Buna göre aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu bir rasyonel sayıdır?
a) \( a + b \)
b) \( a \times b \)
c) \( b + c \)
d) \( a \times c \)
e) \( b \times c \)
Cevap: b
Çözüm: \( a \times b = 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2\sqrt{3}} = 1 \) olur. 1 bir rasyonel sayıdır. Diğer seçeneklerdeki işlemlerin sonuçları irrasyonel çıkar.

Soru 3: Reel sayılarda dağılma özelliği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
a) \( 3 \times (\sqrt{5} + 2) = 3\sqrt{5} + 6 \)
b) \( (0,5 + \frac{1}{3}) \times 6 = 0,5 \times 6 + \frac{1}{3} \times 6 \)
c) \( \pi \times (2 - \pi) = \pi \times 2 - \pi \times \pi \)
d) \( \sqrt{2} \times (\sqrt{8} + \sqrt{2}) = \sqrt{2} \times \sqrt{8} + \sqrt{2} \times \sqrt{2} \)
e) \( \frac{1}{2} + (3 \times \frac{1}{4}) = (\frac{1}{2} + 3) \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) \)
Cevap: e
Çözüm: e seçeneğindeki işlem dağılma özelliğinin yanlış uygulanmasıdır. Dağılma özelliği çarpma işleminin toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılması şeklinde olur, burada ise toplama işleminin çarpma işlemi üzerine dağıtılmaya çalışılmıştır.

Soru 4: Bir öğrenci reel sayılarla ilgili aşağıdaki özellikleri yazıyor:
• Her reel sayının toplamaya göre tersi vardır
• Çarpma işleminin değişme özelliği vardır
• Sıfır hariç her reel sayının çarpmaya göre tersi vardır
• Toplama işleminin birleşme özelliği vardır
Bu özelliklerden hangileri hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar için ortaktır?
a) Yalnız birincisi
b) Birinci ve ikinci
c) İkinci ve üçüncü
d) Birinci, ikinci ve dördüncü
e) Tümü
Cevap: e
Çözüm: Tüm özellikler hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar için geçerlidir. Bu özellikler reel sayılar kümesinin tamamında geçerli olduğundan, reel sayıların alt kümeleri olan rasyonel ve irrasyonel sayılar için de ortaktır.