Sevgili öğrenciler, bu soruda belirli bir integralin değerini hesaplamamız isteniyor. Belirli integraller, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki net değişimini veya grafiği ile x ekseni arasında kalan alanı bulmamızı sağlar. Adım adım ilerleyerek bu integralin değerini bulalım.
- Adım 1: İntegrali Alınacak Fonksiyonun Ters Türevini (Antitürevini) Bulma
- İlk olarak, $ \sin x $ fonksiyonunun belirsiz integralini (ters türevini) bulmalıyız. Hangi fonksiyonun türevi $ \sin x $ verir? $ \cos x $ fonksiyonunun türevi $ -\sin x $ olduğundan, $ -\cos x $ fonksiyonunun türevi $ \sin x $ olacaktır.
- Yani, $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ (Buradaki $ C $ integral sabitidir, ancak belirli integrallerde bu sabite ihtiyacımız olmaz çünkü sınırlar arasında fark alırken birbirini götürür).
- Adım 2: Belirli İntegral İçin Temel Teoremi Uygulama
- Belirli integrali hesaplamak için, bulduğumuz ters türevde üst sınırı yerine koyup, alt sınırı yerine koyduğumuz değeri çıkarmalıyız. Bu, Kalkülüsün Temel Teoremi'dir.
- $ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $ formülünü kullanacağız, burada $ F(x) $ fonksiyonu $ f(x) $'in bir ters türevidir.
- Bizim durumumuzda $ f(x) = \sin x $, $ F(x) = -\cos x $, alt sınır $ a = 0 $ ve üst sınır $ b = \pi $ 'dir.
- Bu durumda integralimiz $ [-\cos x]_0^\pi $ şeklinde ifade edilir.
- Adım 3: Sınır Değerlerini Yerine Koyma ve Hesaplama
- Şimdi $ x $ yerine önce üst sınır olan $ \pi $ 'yi, sonra alt sınır olan $ 0 $ 'ı koyup farklarını alalım:
- $ (-\cos \pi) - (-\cos 0) $
- Trigonometrik değerleri hatırlayalım:
- $ \cos \pi = -1 $
- $ \cos 0 = 1 $
- Bu değerleri yerine yazalım:
- $ (-(-1)) - (-(1)) $
- Adım 4: Sonucu Bulma
- İşlemleri tamamlayalım:
- $ (1) - (-1) $
- $ 1 + 1 = 2 $
Böylece, $ \int_0^\pi \sin x \, dx $ integralinin değeri $ 2 $ olarak bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
