Binom açılımında sabit terim nasıl bulunur Test 1

$(x^2 + \frac{1}{x})^8$ ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?

A) 28
B) 56
C) 70
D) 84

Merhaba sevgili öğrenciler!

Binom açılımı konusundaki bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Sorumuz, bir ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmakla ilgili.

• Adım 1: Binom Açılımının Genel Terim Formülünü Hatırlayalım

Bir $(a+b)^n$ ifadesinin açılımındaki $(r+1)$. terim (genel terim) şu formülle bulunur:

$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

• Adım 2: İfadeyi ve Terimleri Belirleyelim (Önemli Not)

Soruda verilen ifade $(x^2 + \frac{1}{x})^8$ şeklindedir. Bu ifadeyle sabit terim bulunamamaktadır çünkü $x$'in üssünü sıfıra eşitlediğimizde $r$ değeri tam sayı çıkmamaktadır ($16-3r=0 \implies r=16/3$). Ancak seçenekler ve doğru cevap (C) göz önüne alındığında, sorunun büyük ihtimalle $(x^2 + \frac{1}{x^2})^8$ şeklinde olması amaçlanmıştır. Bu varsayımla çözüme devam edelim ve bu tür soruların nasıl çözüldüğünü öğrenelim.

Bu durumda:

• $a = x^2$
• $b = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ (Paydadaki $x^2$ ifadesini üssü negatif olacak şekilde yukarı taşıdık.)
• $n = 8$ (Binom açılımındaki kuvvet)
• Adım 3: Genel Terimi Yazalım

Yukarıdaki $a$, $b$ ve $n$ değerlerini genel terim formülünde yerine koyalım:

$T_{r+1} = \binom{8}{r} (x^2)^{8-r} (x^{-2})^r$

• Adım 4: $x$'in Kuvvetini Düzenleyelim

Şimdi $x$'li terimleri bir araya getirerek $x$'in tek bir kuvvetini elde edelim:

• Üslü ifadelerin kuvveti çarpılır: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$
• $T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{2(8-r)} x^{-2r}$
• $T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{16-2r} x^{-2r}$
• Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
• $T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{16-2r-2r}$
• $T_{r+1} = \binom{8}{r} x^{16-4r}$
• Adım 5: Sabit Terim İçin $r$ Değerini Bulalım

Sabit terim, $x$ değişkenini içermeyen terimdir. Yani $x$'in kuvvetinin sıfır olduğu terimdir. Bu nedenle $x$'in üssünü sıfıra eşitleyelim:

• $16 - 4r = 0$
• $16 = 4r$
• $r = \frac{16}{4}$
• $r = 4$

$r$ değeri bir tam sayı çıktığı için sabit terim vardır.

• Adım 6: Sabit Terimi Hesaplayalım

$r=4$ değerini genel terim formülünde yerine koyarak sabit terimi bulalım:

• Sabit terim, $T_{4+1} = T_5$ terimidir.
• $T_5 = \binom{8}{4} x^{16-4(4)}$
• $T_5 = \binom{8}{4} x^{16-16}$
• $T_5 = \binom{8}{4} x^0$
• $T_5 = \binom{8}{4} \times 1$

Şimdi $\binom{8}{4}$ kombinasyonunu hesaplayalım:

• $\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!}$
• $\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)}$
• $\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$ (Paydadaki $4!$ ile paydaki $4!$ sadeleşti)
• Sadeleştirmeleri yapalım: $4 \times 2 = 8$ olduğu için paydaki 8 ile paydadaki $4 \times 2$ sadeleşir. Paydadaki 3 ile paydaki 6 sadeleşir (2 kalır).
• $\binom{8}{4} = 1 \times 7 \times 2 \times 5 = 70$

Böylece sabit terim $70$ olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.