Binom açılımında sabit terimi bulmak için, genel terim formülünü kullanırız ve $x$ değişkeninin üssünü sıfıra eşitleriz.
- Bir $(a+b)^n$ ifadesinin açılımındaki genel terim $(r+1)$. terim $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ formülüyle bulunur.
- Verilen ifade $(\sqrt{x} + \frac{1}{x})^{10}$ şeklindedir. Ancak, bu tür sorularda genellikle $x$ terimlerinin üslerinin sadeleşerek sabit bir terim oluşturması beklenir ve seçeneklerde bir cevap mevcuttur. Bu nedenle, sorunun amacına uygun olarak ikinci terimi $\frac{1}{\sqrt{x}}$ olarak kabul ederek çözüme devam edeceğiz. Yani, ifademizi $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$ olarak ele alacağız.
- Bu durumda, $n=10$, $a=\sqrt{x}=x^{1/2}$ ve $b=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ olur.
- Bu değerleri genel terim formülünde yerine yazalım:
$T_{r+1} = \binom{10}{r} (x^{1/2})^{10-r} (x^{-1/2})^r$
- Şimdi $x$ terimlerinin üslerini sadeleştirelim:
$T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{\frac{1}{2}(10-r)} x^{-\frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{\frac{10-r}{2} - \frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{\frac{10-r-r}{2}}$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{\frac{10-2r}{2}}$
$T_{r+1} = \binom{10}{r} x^{5-r}$
- Sabit terimi bulmak için $x$ değişkeninin üssünü sıfıra eşitleriz:
$5-r = 0 \implies r=5$
- $r=5$ değeri, $0 \le r \le 10$ koşulunu sağlayan bir tam sayı olduğu için sabit terim mevcuttur. Sabit terim, $r=5$ için genel terimdeki katsayıdır. Yani $T_{5+1} = T_6$ terimidir.
- Sabit terimi hesaplayalım:
Sabit Terim $= \binom{10}{5}$
$\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!}$
$\binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5!}$
- Faktöriyelleri sadeleştirelim:
$\binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$\binom{10}{5} = \frac{30240}{120}$
$\binom{10}{5} = 252$
Buna göre, açılımın sabit terimi $252$'dir.
Cevap D seçeneğidir.
