$(2x - \frac{1}{x^4})^8$ ifadesinin açılımında sabit terim kaçtır?
A) 1120Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir binom açılımının sabit terimini bulmamız isteniyor. Sabit terim, değişken ($x$) içermeyen terim demektir, yani $x^0$ içeren terimdir.
$(a+b)^n$ ifadesinin açılımındaki $(r+1)$. terim (genel terim) şu formülle bulunur:
$T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
Sorudaki ifade $(2x - \frac{1}{x^4})^8$ şeklindedir. Ancak, bu ifadenin açılımında $r$ değeri bir tam sayı çıkmadığı için sabit terim bulunmaz. Muhtemelen soruda bir yazım hatası vardır ve ifade $(2x - \frac{1}{x})^8$ olarak düşünülmüştür. Bu varsayımla devam ederek doğru cevaba ulaşacağız.
Buna göre:
Şimdi bu değerleri genel terim formülünde yerine koyalım:
$T_{r+1} = \binom{8}{r} (2x)^{8-r} (-x^{-1})^r$
Üslü ifadelerin özelliklerini kullanarak terimi sadeleştirelim:
$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} x^{8-r} (-1)^r (x^{-1})^r$
$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} (-1)^r x^{8-r} x^{-r}$
$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} (-1)^r x^{8-r-r}$
$T_{r+1} = \binom{8}{r} 2^{8-r} (-1)^r x^{8-2r}$
Sabit terimi bulmak için $x$'in kuvvetinin $0$ olması gerekir:
$8 - 2r = 0$
Denklemi çözerek $r$ değerini bulalım:
$2r = 8$
$r = 4$
$r=4$ değerini genel terimdeki katsayı kısmına yerleştirelim (çünkü $x^{8-2r}$ terimi $x^0=1$ olacaktır):
Sabit Terim $= \binom{8}{4} 2^{8-4} (-1)^4$
Sabit Terim $= \binom{8}{4} 2^4 (1)$
Önce $\binom{8}{4}$ değerini hesaplayalım:
$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$
Şimdi bu değeri yerine koyalım:
Sabit Terim $= 70 \times 2^4 \times 1$
Sabit Terim $= 70 \times 16$
Sabit Terim $= 1120$
Bu adımları takip ederek sabit terimin $1120$ olduğunu buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
