Adım 1: Soruyu Anlayalım ve Temel Bilgileri Hatırlayalım
- Bize bir eşkenar üçgen verildiğini biliyoruz. Eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit ve tüm iç açıları $60^\circ$ olan özel bir üçgendir.
- Üçgenin bir kenar uzunluğu $12$ cm olarak verilmiştir.
- Bizden istenen, bu üçgenin çevrel çemberinin merkezinin herhangi bir köşeye olan uzaklığıdır. Bu uzaklık, aslında çevrel çemberin yarıçapıdır ve genellikle $R$ ile gösterilir.
Adım 2: Eşkenar Üçgende Çevrel Çemberin Merkezinin Özellikleri
- Eşkenar üçgenlerde, çevrel çemberin merkezi (çevrel merkez), iç teğet çemberin merkezi (iç merkez), ağırlık merkezi ve diklik merkezi gibi tüm önemli noktalar aynı yerde çakışır. Bu, eşkenar üçgenin en önemli özelliklerinden biridir.
- Ağırlık merkezi, üçgenin kenarortaylarının kesişim noktasıdır. Kenarortaylar, bir köşeden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğrulardır.
- Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, köşeden ağırlık merkezine olan uzaklık, kenarortayın $2/3$'ü kadardır.
- Eşkenar üçgende, kenarortay aynı zamanda yükseklik ve açıortaydır. Bu nedenle, çevrel çemberin yarıçapı ($R$), yüksekliğin ($h$) $2/3$'ü kadardır. Yani, $R = \frac{2}{3}h$.
Adım 3: Eşkenar Üçgenin Yüksekliğini Hesaplayalım
- Bir eşkenar üçgenin yüksekliği ($h$), kenar uzunluğu ($a$) cinsinden $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ formülüyle hesaplanır.
- Verilen kenar uzunluğu $a = 12$ cm olduğuna göre, yüksekliği hesaplayalım: $h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ cm.
Adım 4: Çevrel Çemberin Yarıçapını (Merkezin Köşeye Uzaklığını) Bulalım
- Adım 2'de belirttiğimiz gibi, eşkenar üçgende çevrel çemberin yarıçapı ($R$), yüksekliğin ($h$) $2/3$'ü kadardır.
- $R = \frac{2}{3}h$ formülünde, Adım 3'te bulduğumuz $h = 6\sqrt{3}$ cm değerini yerine koyalım:
- $R = \frac{2}{3} \cdot (6\sqrt{3})$
- $R = \frac{12\sqrt{3}}{3}$
- $R = 4\sqrt{3}$ cm.
Bu durumda, çevrel çemberin merkezinin herhangi bir köşeye uzaklığı $4\sqrt{3}$ cm'dir.
Cevap A seçeneğidir.
