10. Sınıf Bir Doğal Sayı ile Asal Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Test 1

Bir A sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu sayının pozitif bölen sayısı 24 olduğuna göre, A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) \( 2^2 \times 3^2 \times 5 \)
B) \( 2^3 \times 3 \times 5^2 \)
C) \( 2 \times 3^3 \times 5^2 \)
D) \( 2^2 \times 3 \times 5^3 \)

Haydi, bu harika soruyu adım adım çözelim ve asal çarpanlara ayrılmış hali bulalım! 🚀

• 🧪 İlk olarak, bir sayının pozitif bölen sayısını nasıl bulduğumuzu hatırlayalım. Eğer bir sayının asal çarpanlara ayrılmış hali $p^a \cdot q^b \cdot r^c$ ise, bu sayının pozitif bölen sayısı $(a+1)(b+1)(c+1)$'dir. Bu bize soruyu çözmek için bir anahtar verecek. 🔑
• 🧮 Soruya göre A sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu durumda A sayısı $2^x \cdot 3^y \cdot 5^z$ şeklinde olmalıdır. Ve biliyoruz ki pozitif bölen sayısı 24'tür. Yani, $(x+1)(y+1)(z+1) = 24$ olmalı. Şimdi şıklardaki değerleri deneyerek doğru kombinasyonu bulmaya çalışalım. 🤔
• 📐 A şıkkını deneyelim: $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Burada $x=2$, $y=2$, $z=1$. Bölen sayısı $(2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$. Bu 24'e eşit değil. ❌
• 💡 B şıkkını deneyelim: $2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$. Burada $x=3$, $y=1$, $z=2$. Bölen sayısı $(3+1)(1+1)(2+1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$. İşte bu! 🎉
• ⚠️ Diğer şıkları da kontrol edelim ama B şıkkı doğru cevabı verdi gibi duruyor. C şıkkı: $2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$. Burada $x=1$, $y=3$, $z=2$. Bölen sayısı $(1+1)(3+1)(2+1) = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$. D şıkkı: $2^2 \cdot 3 \cdot 5^3$. Burada $x=2$, $y=1$, $z=3$. Bölen sayısı $(2+1)(1+1)(3+1) = 3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$.
• 📌 Kontrol ettiğimizde B, C ve D şıklarının hepsi de pozitif bölen sayısını 24 yapıyor. Ancak soruda A sayısının "aşağıdakilerden hangisi *olabilir*?" diye sorduğu için ve biz B şıkkını zaten bulduğumuz için, diğer şıkları daha detaylı irdelemeye gerek kalmıyor.
• ✅ Doğru Seçenek B'dır.