x²+bx+c şeklindeki ifadelerin çarpanlara ayrılması Test 1

Bir kenar uzunluğu \(x\) birim olan karenin alanı \(x^2\) birimkaredir. Bu karenin bir kenarı 5 birim uzatılıp diğer kenarı 3 birim kısaltılırsa yeni oluşan dikdörtgenin alanı \(x^2+bx-75\) olmaktadır.
Buna göre \(b\) kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:

• Adım 1: Karenin Başlangıç Alanını İfade Etme
• Karenin bir kenar uzunluğu $x$ birim olarak verilmiş. Bu durumda karenin alanı $x^2$ birimkaredir.
• Adım 2: Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını İfade Etme
• Karenin bir kenarı 5 birim uzatıldığında, yeni kenar uzunluğu $x + 5$ birim olur.
• Diğer kenarı 3 birim kısaltıldığında, yeni kenar uzunluğu $x - 3$ birim olur.
• Adım 3: Dikdörtgenin Alanını İfade Etme
• Dikdörtgenin alanı, iki kenar uzunluğunun çarpımıyla bulunur. Yani, $(x + 5)(x - 3)$ olur.
• Adım 4: Dikdörtgenin Alanını Açma ve Düzenleme
• $(x + 5)(x - 3)$ ifadesini açalım: $x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15$
• Adım 5: İki Alan İfadesini Karşılaştırma
• Soruda dikdörtgenin alanının $x^2 + bx - 75$ olduğu verilmiş. Biz ise alanı $x^2 + 2x - 15$ olarak bulduk.
• Adım 6: Katsayıları Eşitleme ve b'yi Bulma
• İki ifadeyi karşılaştıralım: $x^2 + bx - 75 = x^2 + 2x - 15$
• Burada $x$'in katsayılarını eşitlememiz gerekiyor. Ancak sabit terimler eşit değil. Soruda bir hata olabilir. Eğer soruyu $x^2 + bx - 15$ olarak düşünürsek, $b=2$ olur. Ya da soruyu $x^2 + bx - 75$ olarak kabul edersek, bizim bulduğumuz $x^2 + 2x - 15$ ifadesini $x^2 + bx - 75$ yapmamız gerekir. Bunun için de soruda bir hata var demektir.
• Eğer soruda bir hata yoksa, soruyu şu şekilde yorumlayabiliriz: Dikdörtgenin alanı $x^2 + 2x - 15$ ve bu alan aynı zamanda $x^2 + bx - 75$'e eşit olmalı. Bu durumda $x^2 + 2x - 15 = x^2 + bx - 75$ denklemini çözmemiz gerekir. Ancak bu denklem her $x$ değeri için sağlanamaz. Dolayısıyla soruda bir hata olduğu kesindir.
• Ancak, soruyu hazırlayanın kastettiği şey, dikdörtgenin alanının $x^2 + bx - 15$ olması ve bizim de $b$'yi bulmamız ise, o zaman $b = 2$ olur.
• Adım 7: Sonuç
• Sorudaki hatayı göz önüne alarak ve soruyu hazırlayanın kastettiği şeyin dikdörtgenin alanının $x^2 + bx - 15$ olması durumunda, $b = 2$ olur.

Cevap A seçeneğidir.