Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için, öncelikle fonksiyonun türevini almamız ve türevin işaretini incelememiz gerekir. Eğer türev negatifse, fonksiyon o aralıkta azalandır.
- Adım 1: Fonksiyonun Türevini Alın
- Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.
- Bu fonksiyonun türevini ($f'(x)$) alalım:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2)$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x + 0$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x$
- Adım 2: Türevin Köklerini (Kritik Noktaları) Bulun
- Fonksiyonun azalan veya artan olduğu aralıkları belirlemek için türevin sıfır olduğu noktaları buluruz. Bu noktalara kritik noktalar denir.
- $f'(x) = 0$ eşitliğini çözelim:
- $3x^2 - 6x = 0$
- Ortak çarpan $3x$ parantezine alalım:
- $3x(x - 2) = 0$
- Bu denklemin kökleri:
- $3x = 0 \Rightarrow x = 0$
- $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
- Yani, kritik noktalarımız $x=0$ ve $x=2$'dir. Bu noktalar sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ ve $(2, \infty)$.
- Adım 3: Türevin İşaretini İnceleyin
- Her bir aralıkta $f'(x)$'in işaretini belirlemek için o aralıktan rastgele bir değer seçip $f'(x)$ fonksiyonuna yerleştirelim.
- Aralık 1: $(-\infty, 0)$
- Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = -1$.
- $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3(1) + 6 = 3 + 6 = 9$
- $f'(-1) = 9 > 0$. Türev pozitif olduğu için bu aralıkta fonksiyon artandır.
- Aralık 2: $(0, 2)$
- Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = 1$.
- $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3$
- $f'(1) = -3 < 0$. Türev negatif olduğu için bu aralıkta fonksiyon azalandır.
- Aralık 3: $(2, \infty)$
- Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = 3$.
- $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 3(9) - 18 = 27 - 18 = 9$
- $f'(3) = 9 > 0$. Türev pozitif olduğu için bu aralıkta fonksiyon artandır.
- Adım 4: Azalan Olduğu Aralığı Belirleyin
- Yaptığımız incelemeye göre, $f'(x) < 0$ olduğu aralık $(0, 2)$'dir. Bu nedenle, $f(x)$ fonksiyonu $(0, 2)$ aralığında azalandır.
Cevap B seçeneğidir.
