Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir fonksiyonun tanım kümesini nasıl bulacağımızı ve hangi sayıların bu tanım kümesine dahil olmadığını adım adım öğreneceğiz. Fonksiyonumuz $g(x) = \frac{1}{x^2-4}$.
- 1. Tanım Kümesi Nedir?
- Bir fonksiyonun tanım kümesi, o fonksiyonda yerine yazabileceğimiz ve sonucunda reel (gerçek) bir sayı elde edebileceğimiz tüm $x$ değerlerinin kümesidir. Bazı matematiksel işlemler, belirli $x$ değerleri için tanımsız sonuçlar verir. Bu değerler, tanım kümesinin dışında kalır.
- 2. Rasyonel Fonksiyonlarda Tanımsızlık Durumu:
- Verilen $g(x)$ fonksiyonu, bir kesir (rasyonel fonksiyon) şeklindedir. Kesirli ifadelerde en önemli kural şudur: Payda asla sıfır olamaz! Eğer payda sıfır olursa, ifade tanımsız hale gelir. Bu nedenle, $g(x)$ fonksiyonunun tanım kümesinde olmayan reel sayıları bulmak için, paydasını sıfır yapan $x$ değerlerini bulmalıyız.
- 3. Paydayı Sıfır Yapan Değerleri Bulma:
- Fonksiyonumuzun paydası $x^2-4$'tür. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyelim ve $x$ değerlerini bulalım:
$x^2 - 4 = 0$
- 4. Denklemi Çözme:
- Bu denklemi çözmek için $4$'ü eşitliğin diğer tarafına atabiliriz:
$x^2 = 4$
- Şimdi, hangi sayıların karesinin $4$ olduğunu bulmalıyız. Bir sayının karesi $4$ ise, o sayı ya $2$ ya da $-2$ olmalıdır. Çünkü:
$2^2 = 4$
$(-2)^2 = 4$
- Dolayısıyla, $x$ değerleri $2$ ve $-2$'dir.
- 5. Sonuç:
- Bu bulduğumuz $x=2$ ve $x=-2$ değerleri, fonksiyonun paydasını sıfır yapar. Yani, $g(2)$ ve $g(-2)$ ifadeleri tanımsızdır. Bu da demektir ki, $2$ ve $-2$ sayıları fonksiyonun tanım kümesinde yer almazlar.
Bu durumda, $g(x) = \frac{1}{x^2-4}$ fonksiyonunun tanım kümesinde olmayan reel sayılar $-2$ ve $2$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
