Trigonometrik denklemler nedir Test 1

$\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$ denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\{\frac{\pi}{2} + 2k\pi\}$
B) $\{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\}$
C) $\{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$
D) $\{\pi + 2k\pi\}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, trigonometrik bir denklemi çözerek çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Denklemi adım adım inceleyelim ve çözümünü bulalım.

• Denklemi Tek Bir Trigonometrik Fonksiyon Cinsinden Yazma:

  Verilen denklem $\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$ şeklindedir. Bu denklemde hem $\cos^2 x$ hem de $\sin x$ ifadeleri bulunmaktadır. Denklemi çözebilmek için tüm terimleri tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmaya çalışmalıyız. Bildiğimiz temel trigonometrik özdeşliklerden biri $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$'dir. Bu özdeşlikten $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ eşitliğini elde edebiliriz. Şimdi bu ifadeyi denklemde yerine yazalım:

  $(1 - \sin^2 x) - 3\sin x - 3 = 0$

• Denklemi Sadeleştirme ve Çözme:

  Şimdi denklemi sadeleştirelim ve düzenleyelim:

  $1 - \sin^2 x - 3\sin x - 3 = 0$

  $-\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$

  Denklemi daha kolay çözmek için her tarafı $-1$ ile çarpalım:

  $\sin^2 x + 3\sin x + 2 = 0$

  Bu denklem, $\sin x$ cinsinden ikinci dereceden bir denklemdir. $\sin x = u$ dönüşümü yaparsak denklem $u^2 + 3u + 2 = 0$ halini alır. Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:

  $(u+1)(u+2) = 0$

  Buradan iki olası çözüm elde ederiz:

  $u+1 = 0 \implies u = -1$

  $u+2 = 0 \implies u = -2$

  Şimdi $u$ yerine tekrar $\sin x$ yazalım:

  $\sin x = -1$ veya $\sin x = -2$

• Çözümleri Değerlendirme:

  Elde ettiğimiz her iki durumu ayrı ayrı inceleyelim:

  • Durum 1: $\sin x = -1$

    Sinüs fonksiyonunun değeri $-1$ olabilir. Sinüs değeri $-1$ olan açı $x = \frac{3\pi}{2}$ (veya $270^\circ$) radyan veya bunun $2\pi$ katları eklenmiş halidir. Genel çözüm olarak bunu şu şekilde ifade ederiz:

    $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, burada $k$ bir tam sayıdır.

  • Durum 2: $\sin x = -2$

    Sinüs fonksiyonunun değer aralığı $[-1, 1]$'dir. Yani $\sin x$ değeri asla $-1$'den küçük veya $1$'den büyük olamaz. Bu nedenle $\sin x = -2$ denkleminin gerçek sayılarda bir çözümü yoktur.

• Çözüm Kümesini Belirleme:

  Yukarıdaki değerlendirmeler sonucunda, denklemin tek geçerli çözümü $\sin x = -1$ durumundan gelmektedir. Bu da bize çözüm kümesini verir:

  Çözüm Kümesi $= \{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$

Bu çözüm kümesi seçeneklerdeki B seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.