Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu ve köşegenin bir kenarla yaptığı açının sinüs değeri verilmiş. Bizden dikdörtgenin alanını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim.
Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Dikdörtgeni Tanımlayalım
- Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu $d = 10$ cm olarak verilmiş.
- Köşegenin kısa kenarla yaptığı açıya $\alpha$ diyelim. Bu açının $\arcsin(3/5)$ olduğu belirtilmiş. Bu ifade, $\sin(\alpha) = 3/5$ anlamına gelir.
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları $x$ ve $y$ olsun. Amacımız dikdörtgenin alanını bulmak, yani $A = x \cdot y$ işlemini yapmaktır.
- Bir dikdörtgende köşegen, kenarlar ile birlikte bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgende köşegen, hipotenüs görevi görür.
Adım 2: Açının Diğer Trigonometrik Oranını (Kosinüsünü) Bulalım
- $\sin(\alpha) = 3/5$ olarak verilmiştir.
- Bir dik üçgende geçerli olan temel trigonometrik özdeşliklerden biri $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$'dir. Bu özdeşliği kullanarak $\cos(\alpha)$ değerini bulabiliriz.
- Verilen $\sin(\alpha)$ değerini yerine yazalım: $(3/5)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$
- $9/25 + \cos^2(\alpha) = 1$
- $\cos^2(\alpha)$ değerini yalnız bırakmak için $9/25$'i eşitliğin diğer tarafına atalım: $\cos^2(\alpha) = 1 - 9/25$
- Paydaları eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım: $\cos^2(\alpha) = 25/25 - 9/25 = 16/25$
- Her iki tarafın karekökünü alarak $\cos(\alpha)$ değerini bulalım: $\cos(\alpha) = \sqrt{16/25} = 4/5$. (Açı bir dik üçgenin iç açısı olduğu için $\alpha$ dar açıdır ve kosinüs değeri pozitif olmalıdır.)
Adım 3: Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarını Bulalım
- Dik üçgende, bir açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranı sinüs değerini, açının komşu kenarının hipotenüse oranı ise kosinüs değerini verir.
- Kenar $y$ (açının karşısındaki kenar) için: $y/d = \sin(\alpha)$
- $y/10 = 3/5$
- $y$ değerini bulmak için her iki tarafı $10$ ile çarpalım: $y = (3/5) \times 10 = 6$ cm.
- Kenar $x$ (açının komşu kenarı) için: $x/d = \cos(\alpha)$
- $x/10 = 4/5$
- $x$ değerini bulmak için her iki tarafı $10$ ile çarpalım: $x = (4/5) \times 10 = 8$ cm.
- Böylece dikdörtgenin kenar uzunlukları $6$ cm ve $8$ cm olarak bulunur. (Sorudaki "köşegenin kısa kenarla yaptığı açı" ifadesi, kenarların $6$ cm ve $8$ cm olması durumunda teknik olarak köşegenin uzun kenarla yaptığı açıya karşılık gelir. Ancak bu tür sorularda genellikle verilen trigonometrik oranlar, dikdörtgenin kenar uzunluklarını doğrudan belirlemek için kullanılır ve bu değerlerle doğru cevaba ulaşılır.)
Adım 4: Dikdörtgenin Alanını Hesaplayalım
- Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir: $A = x \cdot y$.
- Bulduğumuz kenar uzunluklarını yerine yazalım: $A = 8 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 48 \text{ cm}^2$.
Sonuç:
- Dikdörtgenin alanı $48 \text{ cm}^2$'dir.
Cevap D seçeneğidir.
