Arccos (Ark kosinüs) nedir Test 1

arccos(cos(7π/4)) ifadesinin değeri nedir?

A) 7π/4
B) π/4
C) 3π/4
D) -π/4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, trigonometrik fonksiyonların tersini içeren ilginç bir ifadeyi adım adım çözeceğiz. İfademiz: $\arccos(\cos(7\pi/4))$

Bu tür soruları çözerken, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıklarını ve değer kümelerini iyi anlamak çok önemlidir. Özellikle $\arccos(x)$ fonksiyonunun değer kümesi (çıktı aralığı) bu sorunun anahtarıdır.

• Adım 1: $\arccos(x)$ fonksiyonunun değer kümesini hatırlayalım.

  $\arccos(x)$ fonksiyonu, kosinüsü $x$ olan açıyı verir. Ancak bu açı, belirli bir aralıkta olmalıdır. $\arccos(x)$ fonksiyonunun değer kümesi (çıktı aralığı) $[0, \pi]$'dir. Yani, $\arccos(\cos(\theta))$ ifadesi, $\theta$ açısı $[0, \pi]$ aralığında değilse doğrudan $\theta$'ya eşit olmaz. Bizim amacımız, $\cos(7\pi/4)$ değerine eşit olan ve $[0, \pi]$ aralığında bulunan açıyı bulmaktır.

• Adım 2: İçteki ifadeyi, yani $\cos(7\pi/4)$ değerini hesaplayalım.

  Öncelikle, $7\pi/4$ açısının birim çemberdeki konumunu ve kosinüs değerini bulalım.

  • $7\pi/4$ açısı, $2\pi$ (yani $8\pi/4$) radyanın hemen altındadır. Bu açı 4. bölgededir.
  • $7\pi/4$ açısının esas ölçüsü veya referans açısı $2\pi - 7\pi/4 = 8\pi/4 - 7\pi/4 = \pi/4$'tür.
  • 4. bölgede kosinüs değeri pozitiftir.
  • Bu durumda, $\cos(7\pi/4) = \cos(\pi/4)$ olur.
  • $\cos(\pi/4)$ değerinin $\frac{\sqrt{2}}{2}$ olduğunu biliyoruz.

  Yani, $\cos(7\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Adım 3: Bulduğumuz değeri $\arccos$ fonksiyonuna yerleştirelim.

  Şimdi ifademiz $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ haline geldi.

• Adım 4: $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ değerini bulalım.

  Bu adımda, kosinüsü $\frac{\sqrt{2}}{2}$ olan ve $\arccos$ fonksiyonunun değer kümesi olan $[0, \pi]$ aralığında bulunan açıyı bulmalıyız.

  • Kosinüsü $\frac{\sqrt{2}}{2}$ olan bilinen açı $\pi/4$'tür. ($\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$)
  • $\pi/4$ açısı, $[0, \pi]$ aralığında mıdır? Evet, $0 \le \pi/4 \le \pi$ koşulunu sağlar.

  Bu nedenle, $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi/4$.

Sonuç olarak, $\arccos(\cos(7\pi/4))$ ifadesinin değeri $\pi/4$'tür.

Cevap B seçeneğidir.