Üstel denklemler nedir Test 1

2^x + 2^x+1 + 2^x+2 = 56 denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda üslü ifadeler içeren bir denklemi adım adım çözerek $x$ değerini bulacağız. Üslü sayıların özelliklerini hatırlayarak işe başlayalım.

• Denklemi İnceleyelim:

  Denklemimiz $2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 56$ şeklindedir. Gördüğümüz gibi, tüm terimlerde $2^x$ ifadesi ortak bir çarpan olarak gizlidir. Üslü sayıların bir özelliğini hatırlayalım: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Bu özelliği kullanarak terimleri daha basit hale getirebiliriz.

• Terimleri Yeniden Yazalım:

  Denklemdeki terimleri $2^x$ cinsinden yazalım:

  • $2^{x+1}$ ifadesini $2^x \cdot 2^1$ olarak yazabiliriz. Yani $2 \cdot 2^x$.
  • $2^{x+2}$ ifadesini $2^x \cdot 2^2$ olarak yazabiliriz. Yani $4 \cdot 2^x$.
• Denklemde Yerine Koyalım:

  Şimdi bu yeni ifadeleri orijinal denklemimize yerleştirelim:

  $2^x + (2 \cdot 2^x) + (4 \cdot 2^x) = 56$

• Ortak Çarpan Parantezine Alalım:

  Gördüğünüz gibi, her terimde $2^x$ ortak çarpanı var. Bu ifadeyi parantez dışına alabiliriz:

  $2^x (1 + 2 + 4) = 56$

• Parantez İçini Hesaplayalım:

  Parantez içindeki sayıları toplayalım:

  $1 + 2 + 4 = 7$

  Denklemimiz şu hale gelir:

  $2^x \cdot 7 = 56$

• $2^x$ İfadesini Yalnız Bırakalım:

  $2^x$ ifadesini bulmak için denklemin her iki tarafını $7$'ye bölelim:

  $2^x = \frac{56}{7}$

  $2^x = 8$

• $x$ Değerini Bulalım:

  Şimdi $8$ sayısını $2$'nin bir kuvveti olarak yazmalıyız. $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$ olduğunu biliyoruz.

  O halde denklemimiz:

  $2^x = 2^3$

  Tabanlar eşit olduğuna göre, üsler de eşit olmalıdır. Bu durumda:

  $x = 3$

Böylece denklemi sağlayan $x$ değerini $3$ olarak bulduk.

Cevap B seçeneğidir.