A(x) = (p+2)x^(-3) + qx² + rx + 1 ifadesinin bir polinom olması için p, q ve r gerçek sayıları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) p = -2, q ve r herhangi bir gerçek sayı olmalıdır
B) p ≠ -2, q ve r herhangi bir gerçek sayı olmalıdır
C) p = -2, q = 0, r herhangi bir gerçek sayı olmalıdır
D) p ≠ -2, q = 0, r herhangi bir gerçek sayı olmalıdır
Sevgili öğrenciler, bir ifadenin polinom olabilmesi için çok önemli bir kuralımız var. Gelin bu kuralı hatırlayalım ve sorumuzu adım adım çözelim.
- Polinom Tanımı: Bir $A(x)$ ifadesinin polinom olabilmesi için, $x$'in kuvvetlerinin (üslerinin) doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, ...$) olması gerekir. Ayrıca, katsayılar da gerçek sayılar olmalıdır.
- Şimdi verilen $A(x) = (p+2)x^{-3} + qx^2 + rx + 1$ ifadesini inceleyelim. Bu ifadenin bir polinom olması için her bir terimdeki $x$'in kuvvetine bakmalıyız.
- Birinci Terim: $(p+2)x^{-3}$ teriminde $x$'in kuvveti $-3$'tür. Ancak polinom tanımına göre $x$'in kuvveti doğal sayı olmalıdır. $-3$ bir doğal sayı değildir. Bu durumda, bu terimin polinomun yapısını bozmaması için tek bir yol vardır: bu terimin katsayısı sıfır olmalıdır. Yani, $p+2 = 0$ olmalıdır.
- $p+2 = 0$ denklemini çözersek, $p = -2$ sonucunu buluruz. Bu, $x^{-3}$ teriminin ortadan kalkmasını ve ifadenin polinom olabilmesini sağlar.
- İkinci Terim: $qx^2$ teriminde $x$'in kuvveti $2$'dir. $2$ bir doğal sayıdır, dolayısıyla bu terim polinomun tanımına uygundur. $q$ katsayısı herhangi bir gerçek sayı olabilir.
- Üçüncü Terim: $rx$ teriminde $x$'in kuvveti $1$'dir. $1$ bir doğal sayıdır, dolayısıyla bu terim polinomun tanımına uygundur. $r$ katsayısı herhangi bir gerçek sayı olabilir.
- Dördüncü Terim: $1$ terimi bir sabittir ve $1x^0$ olarak düşünülebilir. $x$'in kuvveti $0$'dır. $0$ bir doğal sayıdır, dolayısıyla bu terim de polinomun tanımına uygundur.
- Tüm bu analizler sonucunda, $A(x)$ ifadesinin bir polinom olabilmesi için $p = -2$ olması gerektiği, $q$ ve $r$ katsayılarının ise herhangi bir gerçek sayı olabileceği sonucuna varırız.
Bu koşulları sağlayan seçenek A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
