B(x) = √2 x³ + (a-1)x^b + 4 ifadesinin bir polinom olabilmesi için a ve b gerçek sayıları ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a herhangi bir gerçek sayı, b negatif olmayan tam sayı olmalıdır
B) a ≠ 1, b negatif olmayan tam sayı olmalıdır
C) a herhangi bir gerçek sayı, b herhangi bir gerçek sayı olmalıdır
D) a ≠ 1, b herhangi bir gerçek sayı olmalıdır
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bir ifadenin polinom olabilmesi için hangi şartları sağlaması gerektiğini adım adım inceleyelim. Polinomlar, matematikte çok önemli bir yer tutar ve belirli kurallara uymaları gerekir.
- Polinom Tanımı: Bir ifadenin polinom olabilmesi için, değişkenlerin (burada $x$) kuvvetlerinin (üslerinin) negatif olmayan tam sayılar olması ve katsayılarının gerçek sayılar olması gerekir.
- Verilen ifade $B(x) = \sqrt{2} x^3 + (a-1)x^b + 4$. Bu ifadeyi terim terim inceleyelim:
- Birinci Terim: $\sqrt{2} x^3$
- Katsayı: $\sqrt{2}$ bir gerçek sayıdır. Bu uygundur.
- Değişkenin kuvveti: $3$ bir negatif olmayan tam sayıdır. Bu da uygundur.
- İkinci Terim: $(a-1)x^b$
- Katsayı: $(a-1)$ ifadesi bir katsayıdır. Bir polinomda katsayılar gerçek sayı olmalıdır. $a$ bir gerçek sayı olduğuna göre, $(a-1)$ de her zaman bir gerçek sayı olacaktır. Dolayısıyla, $a$ için herhangi bir kısıtlama yoktur, $a$ herhangi bir gerçek sayı olabilir. $a=1$ olması durumunda katsayı $0$ olur ve terim $0 \cdot x^b = 0$ olur ki bu da bir polinom terimidir.
- Değişkenin kuvveti: $b$ ifadesi $x$'in kuvvetidir. Polinom tanımına göre, bu kuvvetin negatif olmayan bir tam sayı olması zorunludur. Yani $b \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$ olmalıdır. Örneğin, $b$ bir kesirli sayı ($1/2$) veya negatif bir tam sayı ($-2$) olamaz.
- Üçüncü Terim: $4$
- Bu bir sabit terimdir. Sabit terimler aslında $4x^0$ şeklinde düşünülebilir. $0$ bir negatif olmayan tam sayı olduğu için bu terim de polinom şartını sağlar.
- Sonuç: Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $B(x)$ ifadesinin bir polinom olabilmesi için $a$ gerçek sayısının herhangi bir değer alabileceğini, $b$ gerçek sayısının ise negatif olmayan bir tam sayı olması gerektiğini bulduk.
Bu şartları sağlayan seçeneği bulalım:
- A) $a$ herhangi bir gerçek sayı, $b$ negatif olmayan tam sayı olmalıdır. (Bu bizim bulduğumuz şartlarla tamamen uyumludur.)
- B) $a \neq 1$, $b$ negatif olmayan tam sayı olmalıdır. ($a=1$ olabilir, bu yüzden bu seçenek yanlıştır.)
- C) $a$ herhangi bir gerçek sayı, $b$ herhangi bir gerçek sayı olmalıdır. ($b$ negatif olmayan tam sayı olmalıdır, herhangi bir gerçek sayı olamaz. Bu yüzden bu seçenek yanlıştır.)
- D) $a \neq 1$, $b$ herhangi bir gerçek sayı olmalıdır. (Hem $a$ hem de $b$ için verilen şartlar yanlıştır.)
Cevap A seçeneğidir.
