Bir karenin her bir kenarını %25 artırırsak, yeni karenin alanı ilk karenin alanından yüzde kaç fazla olur?
A) 50Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür problemler, geometrik şekillerin özelliklerini ve yüzde hesaplamalarını birleştiren güzel bir örnektir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Bir karenin kenar uzunluğunu bilmediğimiz için, ona bir harf vererek işe başlayabiliriz. Diyelim ki ilk karenin her bir kenarının uzunluğu $s$ birim olsun. Bu, hesaplamalarımızı daha genel ve anlaşılır hale getirecektir.
Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpılmasıyla bulunur. Yani, ilk karenin alanı $A_1 = s \times s = s^2$ olacaktır.
Soruda, karenin her bir kenarının %25 artırıldığı belirtiliyor. Bu, mevcut kenar uzunluğuna, kenar uzunluğunun %25'ini eklememiz gerektiği anlamına gelir.
Yüzde 25'i ondalık olarak $0.25$ şeklinde yazabiliriz.
Artış miktarı: $s \times 0.25 = 0.25s$.
Yeni kenar uzunluğu ($s'$): $s' = s + 0.25s = 1.25s$.
Yeni karenin kenar uzunluğu $1.25s$ olduğuna göre, yeni karenin alanı ($A_2$) şu şekilde hesaplanır:
$A_2 = (1.25s) \times (1.25s) = (1.25)^2 \times s^2$.
$1.25 \times 1.25 = 1.5625$.
Yani, yeni karenin alanı $A_2 = 1.5625s^2$ olur.
Yeni alanın ilk alandan ne kadar fazla olduğunu bulmak için, yeni alandan ilk alanı çıkarırız:
Alan artışı = $A_2 - A_1 = 1.5625s^2 - s^2 = 0.5625s^2$.
Alan artışının ilk alana göre yüzde kaç olduğunu bulmak için, artış miktarını ilk alana bölüp 100 ile çarparız:
Yüzde artış = $\left( \frac{\text{Alan artışı}}{\text{İlk alan}} \right) \times 100\%$
Yüzde artış = $\left( \frac{0.5625s^2}{s^2} \right) \times 100\%$
Burada $s^2$ terimleri sadeleşir:
Yüzde artış = $0.5625 \times 100\% = 56.25\%$.
Gördüğünüz gibi, karenin kenar uzunluğunu %25 artırdığımızda, alanı %56.25 artmış olur.
Cevap B seçeneğidir.