Bir sayıda onlar basamağı ile birler basamağındaki rakamların yerleri değiştirildiğinde sayı 36 azalıyor. Bu sayı için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Onlar basamağı birler basamağından küçüktür
B) Onlar basamağı birler basamağından büyüktür
C) Rakamların toplamı 10'dur
D) Sayı 50'den büyüktür
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür problemler, iki basamaklı sayıların basamak değerlerini ve cebirsel denklemleri kullanarak çözülür. Adım adım ilerleyelim ve soruyu birlikte çözelim.
- Adım 1: Sayıyı Matematiksel Olarak İfade Edelim.
- İki basamaklı bir sayının onlar basamağındaki rakama $a$, birler basamağındaki rakama $b$ diyelim.
- Bu durumda, sayımız $10a + b$ şeklinde yazılır. (Örneğin, 47 sayısı $10 \times 4 + 7$ demektir.)
- Unutmayalım ki, $a$ bir onlar basamağı rakamı olduğu için 1'den 9'a kadar bir değer alabilir ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$).
- $b$ ise birler basamağı rakamı olduğu için 0'dan 9'a kadar bir değer alabilir ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).
- Adım 2: Rakamların Yerleri Değiştirildiğinde Oluşan Sayıyı Bulalım.
- Onlar basamağı ile birler basamağındaki rakamların yerleri değiştirildiğinde, yeni sayının onlar basamağı $b$, birler basamağı $a$ olur.
- Bu durumda, yeni sayımız $10b + a$ şeklinde yazılır. (Örneğin, 47 sayısının rakamları yer değiştirdiğinde 74 olur, yani $10 \times 7 + 4$.)
- Adım 3: Verilen Bilgiyi Matematiksel Bir Denkleme Dönüştürelim.
- Soruda "sayı 36 azalıyor" deniyor. Bu, ilk sayıdan yeni sayıyı çıkardığımızda sonucun 36 olması demektir.
- Yani: $(10a + b) - (10b + a) = 36$
- Adım 4: Denklemi Çözerek $a$ ve $b$ Arasındaki İlişkiyi Bulalım.
- Denklemi açalım: $10a + b - 10b - a = 36$
- Benzer terimleri birleştirelim: $(10a - a) + (b - 10b) = 36$
- Bu da $9a - 9b = 36$ demektir.
- Eşitliğin her iki tarafını 9'a bölelim: $\frac{9(a - b)}{9} = \frac{36}{9}$
- Sonuç olarak: $a - b = 4$
- Adım 5: Bulduğumuz İlişkiyi Seçeneklerle Karşılaştıralım.
- $a - b = 4$ eşitliği, $a$ rakamının $b$ rakamından 4 fazla olduğunu gösterir. Yani onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamdan 4 büyüktür. Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Onlar basamağı birler basamağından küçüktür
- Bu, $a < b$ demektir. Biz $a - b = 4$ bulduk, yani $a$, $b$'den büyüktür. Bu seçenek yanlıştır.
- B) Onlar basamağı birler basamağından büyüktür
- Bu, $a > b$ demektir. Biz $a - b = 4$ bulduğumuza göre, $a$ kesinlikle $b$'den büyüktür. Bu seçenek doğrudur.
- C) Rakamların toplamı 10'dur
- Bu, $a + b = 10$ demektir. Biz sadece $a - b = 4$ olduğunu biliyoruz. Örneğin, $a=5, b=1$ olabilir (çünkü $5-1=4$). Bu durumda $a+b=6$ olur, 10 değil. Veya $a=7, b=3$ olabilir (çünkü $7-3=4$). Bu durumda $a+b=10$ olur. Yani rakamların toplamı her zaman 10 olmak zorunda değildir. Bu seçenek kesinlikle doğru değildir.
- D) Sayı 50'den büyüktür
- Sayı $10a + b$'dir. Biz $a = b + 4$ olduğunu biliyoruz.
- Eğer $b=0$ ise, $a=4$ olur. Sayı $10 \times 4 + 0 = 40$ olur. 40 sayısı 50'den büyük değildir.
- Bu durumda, sayının her zaman 50'den büyük olduğunu söyleyemeyiz. Bu seçenek kesinlikle doğru değildir.
- Adım 6: Kesinlikle Doğru Olan Seçeneği Belirleyelim.
- Yaptığımız analiz sonucunda, sadece B seçeneğinin kesinlikle doğru olduğunu gördük.
Cevap B seçeneğidir.
