İrrasyonel sayılar kümesi üzerinde standart "<" sıralaması düşünüldüğünde, bu kümenin herhangi bir elemanının hemen bir sonraki elemanı var mıdır?
A) Evet, her elemanın bir sonrakisi vardır
B) Hayır, hiçbir elemanın bir sonrakisi yoktur
C) Yalnızca pozitif irrasyoneller için vardır
D) Yalnızca negatif irrasyoneller için vardır
Merhaba sevgili öğrenciler! İrrasyonel sayılar konusu, sayı kümelerini anlamak için çok önemlidir. Şimdi, irrasyonel sayıların ne olduğunu hatırlayarak ve verilen seçenekleri tek tek inceleyerek bu soruyu adım adım çözelim.
Öncelikle, irrasyonel sayı ne demektir, bunu hatırlayalım:
- Bir sayı, eğer iki tam sayının oranı ($ rac{a}{b}$ şeklinde, $b \neq 0$ olmak üzere) olarak yazılamıyorsa, bu sayıya irrasyonel sayı denir.
- İrrasyonel sayıların ondalık gösterimleri, virgülden sonra düzensiz bir şekilde devam eder, yani tekrar etmez ve sonlanmaz.
- Örneğin, $ pi$ (pi sayısı) ve $ sqrt{2}$ gibi sayılar irrasyoneldir.
- Rasyonel sayılar ise tam sayılar, kesirli sayılar ve sonlu veya tekrar eden ondalık sayılardır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $0.333...$
- Bu sayı, virgülden sonra '3' rakamının tekrar ettiği bir ondalık sayıdır.
- Tekrar eden ondalık sayılar her zaman rasyoneldir ve kesir olarak yazılabilir. $0.333... = rac{1}{3}$ şeklinde yazılabilir.
- Dolayısıyla, $0.333...$ bir rasyonel sayıdır.
- B) $ sqrt{7}$
- Bu sayı, $7$'nin kareköküdür. Bir sayının karekökünün irrasyonel olup olmadığını anlamak için, karekök içindeki sayının tam kare olup olmadığına bakarız.
- $7$ bir tam kare sayı değildir (yani hiçbir tam sayının karesi $7$ etmez).
- Bu durumda, $ sqrt{7}$ bir tam sayıya veya bir kesre eşit değildir. Ondalık açılımı sonsuz ve düzensiz bir şekilde devam eder.
- Dolayısıyla, $ sqrt{7}$ bir irrasyonel sayıdır.
- C) $2.5$
- Bu sayı, virgülden sonra sonlanan bir ondalık sayıdır.
- Sonlanan ondalık sayılar her zaman rasyoneldir ve kesir olarak yazılabilir. $2.5 = rac{25}{10} = rac{5}{2}$ şeklinde yazılabilir.
- Dolayısıyla, $2.5$ bir rasyonel sayıdır.
- D) $ sqrt{9}$
- Bu sayı, $9$'un kareköküdür. $9$ bir tam kare sayıdır, çünkü $3^2 = 9$'dur.
- Bu durumda, $ sqrt{9} = 3$'tür.
- $3$ bir tam sayıdır ve her tam sayı aynı zamanda rasyonel bir sayıdır (örneğin $ rac{3}{1}$ şeklinde yazılabilir).
- Dolayısıyla, $ sqrt{9}$ bir rasyonel sayıdır.
- E) $-4$
- Bu sayı bir tam sayıdır.
- Her tam sayı, paydasına $1$ yazılarak kesir şeklinde ifade edilebilir (örneğin $ rac{-4}{1}$).
- Dolayısıyla, $-4$ bir rasyonel sayıdır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $ sqrt{7}$ sayısının iki tam sayının oranı şeklinde yazılamadığını ve ondalık açılımının düzensiz ve sonsuz olduğunu gördük. Bu nedenle, $ sqrt{7}$ bir irrasyonel sayıdır.
Cevap B seçeneğidir.
