z = \(\frac{5 - 2i}{i}\) karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır?
A) -2Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle karmaşık sayılarla ilgili temel bir problemi adım adım çözeceğiz. Amacımız, verilen karmaşık sayının reel kısmını bulmak. Hazırsanız başlayalım!
1. Adım: Problemi Anlayalım
Bize $z = \frac{5 - 2i}{i}$ karmaşık sayısı verilmiş ve bu sayının reel kısmı soruluyor. Bir karmaşık sayının reel kısmını bulmak için, sayıyı $a + bi$ şeklinde standart formda yazmamız gerekir. Burada $a$ reel kısım, $b$ ise imajiner kısımdır.
2. Adım: Paydadaki İmajiner Sayıyı Yok Edelim
Verilen karmaşık sayıda paydada bir imajiner sayı ($i$) bulunmaktadır. Paydadaki imajiner sayıyı yok etmek için, kesri paydanın eşleniği ile çarparız. $i$'nin eşleniği $-i$'dir. Ancak, sadece $i$ ile çarpmak da paydadan imajiner kısmı kaldırmak için yeterlidir, çünkü $i \cdot i = i^2 = -1$ bir reel sayıdır.
O halde, kesri $\frac{i}{i}$ ile çarpalım:
$z = \frac{5 - 2i}{i} \times \frac{i}{i}$
3. Adım: Çarpma İşlemini Yapalım
Payı payla, paydayı paydayla çarpalım:
$z = \frac{(5 - 2i) \cdot i}{i \cdot i}$
Payı dağıtalım:
$(5 - 2i) \cdot i = 5i - 2i^2$
Paydayı çarpalım:
$i \cdot i = i^2$
Şimdi bu ifadeleri yerine yazalım:
$z = \frac{5i - 2i^2}{i^2}$
4. Adım: $i^2 = -1$ Özelliğini Kullanalım
Karmaşık sayılarda $i^2 = -1$ olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi denklemde yerine koyalım:
$z = \frac{5i - 2(-1)}{-1}$
$z = \frac{5i + 2}{-1}$
5. Adım: Karmaşık Sayıyı Standart Formda Yazalım
Şimdi ifadeyi $a + bi$ şeklinde yazmak için paydaki terimleri paydaya bölelim ve reel ile imajiner kısımları ayıralım:
$z = \frac{2 + 5i}{-1}$
$z = \frac{2}{-1} + \frac{5i}{-1}$
$z = -2 - 5i$
6. Adım: Reel Kısmı Belirleyelim
Karmaşık sayımız $z = -2 - 5i$ şeklindedir. Bu formda, reel kısım $a$ ve imajiner kısım $b$'dir. Yani $a = -2$ ve $b = -5$'tir.
Soruda bizden reel kısım istendiği için, cevabımız $-2$'dir.
Bu adımları takip ederek, karmaşık sayının reel kısmını kolayca bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
