KPSS Katı Cisimler konu anlatımı Test 1

Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli kürenin hacmi 36π cm³'tür. Buna göre küpün bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?

A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 18

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük kürenin hacmi verilmiş. Bizden ise küpün bir kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.

• 1. Küp ve İçine Yerleştirilen Küre Arasındaki İlişkiyi Anlayalım:

  Bir küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hacimli küre, küpün tüm yüzeylerine teğet olan küredir. Bu durumda, kürenin çapı, küpün bir kenar uzunluğuna eşit olmak zorundadır. Eğer küpün bir kenar uzunluğuna $a$ dersek ve kürenin yarıçapına $r$ dersek, bu durumda $a = 2r$ ilişkisi vardır.

• 2. Kürenin Hacim Formülünü Hatırlayalım:

  Bir kürenin hacmi $V_{küre} = \frac{4}{3}\pi r^3$ formülü ile hesaplanır.

• 3. Verilen Hacmi Kullanarak Kürenin Yarıçapını Bulalım:

  Soruda kürenin hacmi $36\pi$ cm³ olarak verilmiş. Bu değeri hacim formülünde yerine yazalım:

  $\frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi$

  Eşitliğin her iki tarafını $\pi$ ile sadeleştirelim:

  $\frac{4}{3} r^3 = 36$

  $r^3$ değerini bulmak için eşitliğin her iki tarafını $\frac{3}{4}$ ile çarpalım:

  $r^3 = 36 \times \frac{3}{4}$

  $r^3 = 9 \times 3$

  $r^3 = 27$

  Şimdi $r$ değerini bulmak için her iki tarafın küp kökünü alalım:

  $r = \sqrt[3]{27}$

  $r = 3$ cm

• 4. Küpün Bir Kenar Uzunluğunu Bulalım:

  İlk adımda belirttiğimiz gibi, küpün bir kenar uzunluğu $a$, kürenin çapına yani $2r$'ye eşittir. Bulduğumuz $r$ değerini bu ilişkide yerine yazalım:

  $a = 2r$

  $a = 2 \times 3$

  $a = 6$ cm

Buna göre küpün bir kenar uzunluğu $6$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.