Taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 9 cm olan bir dik dairesel silindirin içine, tabanı silindirin tabanına çakışık ve tepesi silindirin üst taban merkezine değecek şekilde bir dik koni yerleştiriliyor. Silindirin içinde kalan boşluğun hacmi kaç π cm³'tür?
A) 48
B) 60
C) 72
D) 84
E) 96
Şimdi bu soruyu adım adım, açıklayıcı ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Soruda bir dik dairesel silindir ve içine yerleştirilmiş bir dik koni var. Silindirin içinde kalan boşluğun hacmini bulmamız isteniyor.
- 1. Adım: Silindirin Hacmini Hesaplayalım
- Bir dik dairesel silindirin hacmi $V_{silindir} = \pi r^2 h$ formülüyle bulunur. Burada $r$ taban yarıçapı, $h$ ise yüksekliktir.
- Soruda verilen değerler: Taban yarıçapı ($r$) = $4$ cm, Yükseklik ($h$) = $9$ cm.
- Bu değerleri formülde yerine koyalım: $V_{silindir} = \pi (4)^2 (9)$
- Önce yarıçapın karesini alalım: $4^2 = 16$.
- Şimdi çarpma işlemlerini yapalım: $V_{silindir} = \pi (16) (9)$
- $V_{silindir} = 144\pi$ cm³ olarak bulunur.
- 2. Adım: Koninin Hacmini Hesaplayalım
- Bir dik koninin hacmi $V_{koni} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ formülüyle bulunur.
- Soruda koninin tabanı silindirin tabanına çakışık olduğu belirtilmiştir. Bu durumda koninin taban yarıçapı da silindirin taban yarıçapı ile aynıdır: $r = 4$ cm.
- Koninin tepesi silindirin üst taban merkezine değdiği için koninin yüksekliği de silindirin yüksekliği ile aynıdır: $h = 9$ cm.
- Bu değerleri koninin hacim formülünde yerine koyalım: $V_{koni} = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (9)$
- Yine yarıçapın karesini alalım: $4^2 = 16$.
- Şimdi çarpma işlemlerini yapalım: $V_{koni} = \frac{1}{3} \pi (16) (9)$
- $V_{koni} = \frac{1}{3} \pi (144)$
- $V_{koni} = 48\pi$ cm³ olarak bulunur.
- 3. Adım: Silindirin İçinde Kalan Boşluğun Hacmini Bulalım
- Silindirin içine koni yerleştirildiğinde, silindirin içinde kalan boşluğun hacmi, silindirin toplam hacminden koninin hacmi çıkarılarak bulunur: $V_{boşluk} = V_{silindir} - V_{koni}$.
- Hesapladığımız hacimleri bu formülde yerine koyalım: $V_{boşluk} = 144\pi - 48\pi$
- Çıkarma işlemini yapalım: $V_{boşluk} = 96\pi$ cm³ olarak bulunur.
Buna göre, silindirin içinde kalan boşluğun hacmi $96\pi$ cm³'tür.
Cevap C seçeneğidir.
