Bir öğrenci 20'nin doğal sayı çarpanlarını bulurken şu işlemi yapıyor: $20 = 2^2 \times 5^1$. Bu gösterime göre 20'nin pozitif bölen sayısı formülü $(2+1) \times (1+1)$ şeklinde hesaplanır. Buna göre 20'nin kaç tane doğal sayı çarpanı vardır?
A) 4Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir sayının doğal sayı çarpanlarının (pozitif bölenlerinin) sayısını nasıl bulacağımızı öğreniyoruz. Bize 20 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali verilmiş ve bu bilgiye dayanarak çarpan sayısını bulmamız isteniyor.
Bir sayıyı kalansız olarak bölebilen pozitif tam sayılara o sayının doğal sayı çarpanları veya pozitif bölenleri denir. Örneğin, 20 sayısının doğal sayı çarpanları 1, 2, 4, 5, 10 ve 20'dir.
Bir sayının kaç tane doğal sayı çarpanı olduğunu bulmanın en kolay ve sistematik yolu, sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. Asal çarpanlarına ayırma, sayıyı sadece asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazmaktır.
Soru bize 20 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış halini zaten vermiş: $20 = 2^2 \times 5^1$.
Burada 2 ve 5 asal sayılardır. 2'nin üssü 2, 5'in üssü ise 1'dir. (Bir sayının üssü yazılmadığında 1 olarak kabul edilir, yani $5 = 5^1$).
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $a^x \times b^y \times c^z \dots$ şeklinde ise, bu sayının pozitif bölen sayısı (doğal sayı çarpan sayısı) üslerin birer fazlasının çarpımıyla bulunur. Yani formül şöyledir: $(x+1) \times (y+1) \times (z+1) \dots$
20 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^2 \times 5^1$ şeklindedir.
Buradaki üsler:
Şimdi bu üsleri formülde yerine koyalım:
Pozitif Bölen Sayısı $= (x+1) \times (y+1)$
Pozitif Bölen Sayısı $= (2+1) \times (1+1)$
Parantez içindeki işlemleri yapalım:
Şimdi bu sonuçları çarpalım:
$3 \times 2 = 6$
Yaptığımız hesaplamaya göre, 20 sayısının 6 tane doğal sayı çarpanı vardır.
Bu çarpanları listeleyerek de kontrol edebiliriz: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Gerçekten de 6 tanedir.
Bu durumda doğru seçenek C) 6'dır.
Cevap C seçeneğidir.
