İrrasyonel sayılar kümesi (I) için toplama işleminin kapalılık özelliği incelenirken, aşağıdaki örneklerden hangisi bu kümenin toplama işlemine göre kapalı olmadığını kanıtlar?
A) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$
B) $\sqrt{2} + (-\sqrt{2})$
C) $2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
D) $\pi + 1$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugünkü dersimizde irrasyonel sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalılık özelliğini inceleyeceğiz. Öncelikle bazı temel kavramları hatırlayalım:
- İrrasyonel Sayılar (I): Rasyonel olmayan, yani $a/b$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımları devirli olmayan ve sonsuza kadar giden sayılardır. Örnek: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.
- Kapalılık Özelliği: Bir küme, belirli bir işleme göre kapalıdır deniyorsa, o kümeden alınan herhangi iki eleman üzerinde o işlem uygulandığında elde edilen sonucun yine aynı kümenin bir elemanı olması gerekir. Örneğin, tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır, çünkü iki tam sayının toplamı yine bir tam sayıdır.
Şimdi, irrasyonel sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalı olup olmadığını anlamak için verilen seçenekleri tek tek inceleyelim. Amacımız, iki irrasyonel sayıyı topladığımızda sonucun rasyonel çıktığı bir örnek bulmaktır. Böyle bir örnek, kapalılık özelliğinin bozulduğunu kanıtlar.
- A) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$
- $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır.
- $\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır.
- Bu iki irrasyonel sayının toplamı olan $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ de bir irrasyonel sayıdır.
- Bu örnek, irrasyonel sayıların toplamının irrasyonel olabileceğini gösterir, ancak kapalılık özelliğini çürütmez.
- B) $\sqrt{2} + (-\sqrt{2})$
- $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır.
- $-\sqrt{2}$ de bir irrasyonel sayıdır (bir irrasyonel sayının negatifi de irrasyoneldir).
- Bu iki irrasyonel sayıyı topladığımızda: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ elde ederiz.
- $0$ (sıfır) ise bir rasyonel sayıdır (çünkü $0 = 0/1$ şeklinde yazılabilir).
- İşte bu örnek, iki irrasyonel sayıyı topladığımızda sonucun rasyonel çıkabildiğini gösterir. Bu durum, irrasyonel sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalı olmadığını kanıtlar.
- C) $2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
- $2\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır.
- $\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır.
- Bu iki irrasyonel sayının toplamı $2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ eder.
- $3\sqrt{3}$ de bir irrasyonel sayıdır.
- Bu örnek de kapalılık özelliğini çürütmez.
- D) $\pi + 1$
- $\pi$ bir irrasyonel sayıdır.
- $1$ bir rasyonel sayıdır.
- Bir irrasyonel sayı ile sıfırdan farklı bir rasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. Dolayısıyla $\pi + 1$ de bir irrasyonel sayıdır.
- Bu örnekte, iki irrasyonel sayı toplanmamıştır (biri rasyoneldir). Bu nedenle, irrasyonel sayıların kapalılık özelliğini incelemek için uygun bir karşı örnek değildir.
Sonuç olarak, B seçeneğindeki örnekte iki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayıya eşit olmuştur. Bu durum, irrasyonel sayılar kümesinin toplama işlemine göre kapalı olmadığını açıkça gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
