Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri diğerlerinden farklıdır?
A) \( p \veebar p \)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bileşik önermelerin doğruluk değerlerini inceleyerek hangisinin diğerlerinden farklı olduğunu bulacağız. Mantık konularında bu tür soruları çözerken, her bir önermenin doğruluk tablosunu oluşturmak veya bilinen mantık denkliklerini kullanmak bize yol gösterecektir. Hadi her bir seçeneği adım adım inceleyelim:
A) $p \veebar p$
Özel veya ($\veebar$) bağlacı, iki önermenin doğruluk değerleri farklı olduğunda doğru, aynı olduğunda ise yanlış sonuç verir.
Gördüğümüz gibi, $p \veebar p$ önermesinin doğruluk değeri her zaman yanlıştır (F). Bu bir çelişkidir.
B) $(p \veebar q) \veebar (p \land q)$
Bu önermenin doğruluk değerini bulmak için bir doğruluk tablosu oluşturalım:
| $p$ | $q$ | $p \veebar q$ | $p \land q$ | $(p \veebar q) \veebar (p \land q)$ |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | F $\veebar$ T = T |
| T | F | T | F | T $\veebar$ F = T |
| F | T | T | F | T $\veebar$ F = T |
| F | F | F | F | F $\veebar$ F = F |
Bu önermenin doğruluk değerleri (T, T, T, F) şeklindedir. Bu, $p \lor q$ (veya) önermesinin doğruluk tablosuyla aynıdır. Dolayısıyla, bu önermenin doğruluk değeri $p$ ve $q$'nun değerlerine göre değişir; sabit bir doğruluk değeri yoktur.
C) $(p \veebar q) \veebar p$
Yine bir doğruluk tablosu oluşturalım:
| $p$ | $q$ | $p \veebar q$ | $(p \veebar q) \veebar p$ |
|---|---|---|---|
| T | T | F | F $\veebar$ T = T |
| T | F | T | T $\veebar$ T = F |
| F | T | T | T $\veebar$ F = T |
| F | F | F | F $\veebar$ F = F |
Bu önermenin doğruluk değerleri (T, F, T, F) şeklindedir. Bu, $q$ önermesinin doğruluk tablosuyla aynıdır. Dolayısıyla, bu önermenin doğruluk değeri $q$'nun değerine göre değişir; sabit bir doğruluk değeri yoktur.
D) $p \veebar (q \veebar p)$
Özel veya ($\veebar$) bağlacının birleşme (associativity) ve değişme (commutativity) özellikleri vardır. Yani, $A \veebar (B \veebar C) \equiv (A \veebar B) \veebar C$ ve $A \veebar B \equiv B \veebar A$ denklikleri geçerlidir.
Bu özellikleri kullanarak önermeyi basitleştirelim:
A seçeneğinde bulduğumuz gibi, $p \veebar p$ her zaman yanlıştır (F).
Öyleyse, $(p \veebar p) \veebar q \equiv F \veebar q$ olur.
Şimdi $F \veebar q$ ifadesinin doğruluk değerini inceleyelim:
Yani, $F \veebar q$ önermesi $q$ önermesine denktir. Bu önermenin doğruluk değeri de $q$'nun değerine göre değişir; sabit bir doğruluk değeri yoktur.
Sonuçların Karşılaştırılması:
Görüldüğü üzere, A seçeneğindeki önermenin doğruluk değeri her zaman sabittir (Yanlış). Diğer seçeneklerdeki önermelerin doğruluk değerleri ise $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerlerine bağlı olarak değişmektedir. Bu nedenle, doğruluk değeri diğerlerinden farklı olan A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
