$$\int \frac{2x+3}{(x-1)(x+2)} dx$$ integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) $$\frac{5}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+2| + C$$
B) $$\frac{5}{3}\ln|x-1| - \frac{1}{3}\ln|x+2| + C$$
C) $$\frac{1}{3}\ln|x-1| + \frac{5}{3}\ln|x+2| + C$$
D) $$\frac{1}{3}\ln|x-1| - \frac{5}{3}\ln|x+2| + C$$
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu integral sorusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Karşımızda rasyonel bir fonksiyonun integrali var. Bu tür integrallerde genellikle "Basit Kesirlere Ayırma" yöntemini kullanırız.
- Adım 1: İntegrand Fonksiyonu Basit Kesirlere Ayırma
- İntegrali alınacak ifade $\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}$ şeklindedir. Payda zaten çarpanlarına ayrılmış durumda. Bu ifadeyi iki basit kesrin toplamı şeklinde yazabiliriz:
- $\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$
- Şimdi $A$ ve $B$ sabitlerini bulmak için sağ taraftaki kesirleri tekrar birleştirelim:
- $\frac{A(x+2) + B(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{Ax + 2A + Bx - B}{(x-1)(x+2)} = \frac{(A+B)x + (2A-B)}{(x-1)(x+2)}$
- Bu ifadeyi orijinal pay ile karşılaştırdığımızda, $x$'in katsayıları ve sabit terimler eşit olmalıdır:
- $A+B = 2$ (Denklem 1)
- $2A-B = 3$ (Denklem 2)
- Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak $B$'yi yok edebiliriz:
- $(A+B) + (2A-B) = 2+3$
- $3A = 5 \implies A = \frac{5}{3}$
- Şimdi $A$ değerini Denklem 1'e yerine koyarak $B$'yi bulalım:
- $\frac{5}{3} + B = 2 \implies B = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$
- Böylece, integralini alacağımız ifadeyi basit kesirlere ayırmış olduk:
- $\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)} = \frac{5/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2}$
- Adım 2: İntegrali Hesaplama
- Şimdi bu ayrılmış ifadeyi integre edelim:
- $\int \left( \frac{5/3}{x-1} + \frac{1/3}{x+2} \right) dx$
- İntegrali iki ayrı parçaya ayırabiliriz:
- $\int \frac{5/3}{x-1} dx + \int \frac{1/3}{x+2} dx$
- Sabitleri integral dışına alalım:
- $\frac{5}{3} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x+2} dx$
- Hatırlayalım ki $\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$ formülü geçerlidir.
- Bu durumda, ilk integral için $u = x-1$ ve $du = dx$ olur. İkinci integral için $v = x+2$ ve $dv = dx$ olur.
- $\frac{5}{3} \ln|x-1| + \frac{1}{3} \ln|x+2| + C$
- Buradaki $C$ integral sabitidir.
- Adım 3: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz sonuç $\frac{5}{3}\ln|x-1| + \frac{1}{3}\ln|x+2| + C$ şeklindedir.
- Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
