Parabolün delta (Diskriminant) ile ilişkisi Test 1

f(x) = -x² + 6x - n parabolü x eksenini kesmediğine göre, n'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) 9
B) 10
C) 11
D) 12

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün x eksenini kesmemesi durumunu inceleyeceğiz. Bir parabolün x eksenini kesmemesi, denkleminin gerçek köklerinin olmaması anlamına gelir. Bu durumu diskriminant (delta) yardımıyla kolayca çözebiliriz.

• 1. Adım: Parabol Denklemini Tanımlama ve Katsayıları Belirleme

Verilen parabol denklemi $f(x) = -x^2 + 6x - n$ şeklindedir. Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ formatında olduğundan, bu denklemdeki katsayıları belirleyelim:

$a = -1$ (x²'nin katsayısı)

$b = 6$ (x'in katsayısı)

$c = -n$ (sabit terim)

• 2. Adım: x Ekseniyle Kesim Durumunu Anlama

Bir parabolün x eksenini kesmemesi demek, $f(x) = 0$ denkleminin (yani $-x^2 + 6x - n = 0$ denkleminin) gerçek köklerinin olmaması demektir. İkinci dereceden bir denklemin gerçek köklerinin olmaması için diskriminantının ($\Delta$) sıfırdan küçük olması gerekir.

Diskriminant formülü şöyledir: $\Delta = b^2 - 4ac$.

• 3. Adım: Diskriminantı Hesaplama ve Eşitsizliği Kurma

Şimdi belirlediğimiz $a$, $b$, $c$ değerlerini diskriminant formülünde yerine koyalım ve $\Delta < 0$ eşitsizliğini oluşturalım:

$\Delta = (6)^2 - 4(-1)(-n)$

$\Delta = 36 - 4n$

Parabol x eksenini kesmediği için $\Delta < 0$ olmalıdır:

$36 - 4n < 0$

• 4. Adım: Eşitsizliği Çözerek n Değer Aralığını Bulma

Eşitsizliği çözerek $n$ için geçerli olan değer aralığını bulalım:

$36 - 4n < 0$

$36 < 4n$ ($-4n$'i eşitsizliğin diğer tarafına pozitif olarak attık)

$\frac{36}{4} < n$ (Her iki tarafı 4'e böldük)

$9 < n$

Bu eşitsizlik, $n$ değerinin 9'dan büyük olması gerektiğini gösterir.

• 5. Adım: n'nin Alabileceği En Küçük Tam Sayı Değerini Belirleme

$n > 9$ koşulunu sağlayan tam sayılar $10, 11, 12, \dots$ şeklindedir. Bu tam sayılar arasında en küçük olanı $10$'dur.

Cevap B seçeneğidir.