Parabolün delta (Diskriminant) ile ilişkisi Test 1

f(x) = x² + mx + 16 parabolünün x eksenini kesmemesi için m'nin alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir parabolün x eksenini kesmemesi ne anlama gelir? Gelin bu soruyu adım adım çözerek öğrenelim.

• 1. Adım: Parabolün x eksenini kesmeme koşulunu anlamak

  Bir parabolün x eksenini kesmemesi demek, parabolün denklemini $f(x) = 0$ olarak yazdığımızda, bu denklemin gerçek kökünün olmaması demektir. Yani, parabol x eksenine hiç değmez veya onu geçmez.

• 2. Adım: Diskriminant ($\Delta$) kavramını hatırlamak

  Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde olduğunda, bu denklemin köklerinin varlığını ve niteliğini belirleyen ifadeye diskriminant denir ve $\Delta$ (delta) ile gösterilir. Diskriminantın formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.

  • Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı gerçek kökü vardır (parabol x eksenini iki farklı noktada keser).
  • Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin bir gerçek kökü vardır (parabol x eksenine teğettir).
  • Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur (parabol x eksenini kesmez).

  Bizim problemimizde parabolün x eksenini kesmemesi istendiği için, $\Delta < 0$ koşulunu kullanmalıyız.

• 3. Adım: Verilen parabolün katsayılarını belirlemek

  Parabol denklemi $f(x) = x^2 + mx + 16$ olarak verilmiş. Bu denklemi $ax^2 + bx + c$ genel formuyla karşılaştırırsak:

  • $a = 1$
  • $b = m$
  • $c = 16$

• 4. Adım: Diskriminantı hesaplamak

  Şimdi belirlediğimiz $a, b, c$ değerlerini diskriminant formülünde yerine koyalım:

  $\Delta = b^2 - 4ac$

  $\Delta = (m)^2 - 4(1)(16)$

  $\Delta = m^2 - 64$

• 5. Adım: Eşitsizliği kurmak ve çözmek

  Parabolün x eksenini kesmemesi için $\Delta < 0$ olmalıdır. Bu durumda:

  $m^2 - 64 < 0$

  Eşitsizliği çözmek için $m^2$'yi yalnız bırakalım:

  $m^2 < 64$

  Bu eşitsizlik, $m$'nin karesinin $64$'ten küçük olması gerektiğini söyler. Bu da $m$'nin $-8$ ile $8$ arasında bir değer alması gerektiği anlamına gelir:

  $-8 < m < 8$

• 6. Adım: $m$'nin alabileceği tam sayı değerlerini bulmak

  $m$'nin alabileceği tam sayı değerleri, $-8$ ile $8$ arasındaki tüm tam sayılardır ($-8$ ve $8$ dahil değil). Bu değerler şunlardır:

  $-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$

• 7. Adım: Tam sayı değerlerinin sayısını hesaplamak

  Bu aralıktaki tam sayıların sayısını bulmak için son tam sayıdan ilk tam sayıyı çıkarıp $1$ ekleriz:

  Sayısı = $7 - (-7) + 1 = 7 + 7 + 1 = 15$ tanedir.

Bu durumda, $m$'nin alabileceği $15$ farklı tam sayı değeri vardır.

Cevap C seçeneğidir.