Parabolün delta (Diskriminant) ile ilişkisi Test 1

f(x) = 2x² - 12x + p parabolünün x eksenini iki farklı noktada kesmesi için p'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 17
B) 18
C) 19
D) 20

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi için $p$ değerinin alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmamız isteniyor. Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar, parabol denklemini sıfıra eşitlediğimizde elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin kökleridir. İki farklı noktada kesmesi demek, bu ikinci dereceden denklemin iki farklı gerçek kökü olması demektir.

• Adım 1: İkinci Dereceden Denklemin Diskriminantını Hatırlayalım

Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde ise, bu denklemin köklerinin doğasını belirleyen ifadeye diskriminant denir ve $\Delta$ (delta) ile gösterilir. Diskriminantın formülü $\Delta = b^2 - 4ac$'dir.

• Eğer $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı gerçek kökü vardır. Bu durumda parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
• Eğer $\Delta = 0$ ise, denklemin bir (çakışık) gerçek kökü vardır. Bu durumda parabol x eksenine teğettir.
• Eğer $\Delta < 0$ ise, denklemin gerçek kökü yoktur. Bu durumda parabol x eksenini kesmez.
• Adım 2: Verilen Parabol Denklemini İnceleyelim

Bize verilen parabol denklemi $f(x) = 2x^2 - 12x + p$'dir. Bu denklemi $ax^2 + bx + c$ formatıyla karşılaştırırsak:

• $a = 2$
• $b = -12$
• $c = p$
• Adım 3: Diskriminantı Hesaplayalım

Parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi için diskriminantın sıfırdan büyük olması gerektiğini biliyoruz ($\Delta > 0$). Şimdi $a$, $b$ ve $c$ değerlerini diskriminant formülüne yerleştirelim:

$\Delta = b^2 - 4ac$

$\Delta = (-12)^2 - 4(2)(p)$

$\Delta = 144 - 8p$

• Adım 4: Eşitsizliği Kuralım ve Çözelim

İki farklı noktada kesme koşulu $\Delta > 0$ olduğundan, bulduğumuz diskriminant ifadesini bu eşitsizliğe yazalım:

$144 - 8p > 0$

Şimdi bu eşitsizliği $p$ için çözelim:

$144 > 8p$

Eşitsizliğin her iki tarafını $8$'e bölelim:

$rac{144}{8} > p$

$18 > p$

Bu eşitsizlik bize $p$'nin $18$'den küçük olması gerektiğini söyler.

• Adım 5: $p$'nin Alabileceği En Büyük Tam Sayı Değerini Bulalım

$p < 18$ koşulunu sağlayan en büyük tam sayı değeri, $18$'den hemen önceki tam sayıdır.

Bu değer $17$'dir.

Cevap A seçeneğidir.