Bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülü Test 1

\( \frac{|3\cdot2 + (-4)\cdot1 + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2 \) eşitliğini sağlayan k değerleri toplamı kaçtır?

A) -4
B) -2
C) 0
D) 2

Bu soruyu adım adım çözerek, mutlak değer ve temel cebirsel işlemleri kullanarak $k$ değerlerini bulacak ve toplamlarını hesaplayacağız. Hazırsan başlayalım!

• Adım 1: Mutlak Değer İçindeki İfadeyi Basitleştirme

Öncelikle mutlak değer içindeki ifadeyi basitleştirelim:

$|3\cdot2 + (-4)\cdot1 + k| = |6 - 4 + k| = |2 + k|$

• Adım 2: Kök İçindeki İfadeyi Hesaplama

Şimdi de kök içindeki ifadeyi hesaplayalım:

$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

• Adım 3: Denklemi Yeniden Yazma

Denklemi basitleştirilmiş halleriyle tekrar yazalım:

$\frac{|2 + k|}{5} = 2$

• Adım 4: Mutlak Değerden Kurtulma

Mutlak değerden kurtulmak için iki durumu göz önünde bulundurmalıyız:

1. Durum 1: $2 + k = 10$
2. Durum 2: $2 + k = -10$

• Adım 5: Her İki Durum İçin k Değerlerini Bulma
1. Durum 1: $2 + k = 10 \Rightarrow k = 10 - 2 = 8$
2. Durum 2: $2 + k = -10 \Rightarrow k = -10 - 2 = -12$

• Adım 6: k Değerlerinin Toplamını Hesaplama

Bulduğumuz $k$ değerlerini toplayalım:

$8 + (-12) = -4$

Dolayısıyla, eşitliği sağlayan $k$ değerlerinin toplamı -4'tür.

Cevap A seçeneğidir.