u-dönüşümü nedir Test 1

∫(3x²)/(x³+4) dx integralinde u = x³ + 4 dönüşümü uygulanıyor.
Bu dönüşüm sonucunda integral hangi forma dönüşür?

A) ∫(1/u) du
B) ∫(3/u) du
C) ∫(1/3u) du
D) ∫(3u) du

Merhaba sevgili öğrenciler!

İntegral dönüşümleri, karmaşık görünen integralleri daha basit ve çözülebilir formlara dönüştürmek için kullandığımız güçlü bir yöntemdir. Şimdi, verilen integralde $u = x^3 + 4$ dönüşümünü adım adım uygulayarak integralin yeni formunu bulalım.

• Adım 1: $u$ dönüşümünü belirle.

  Soruda bize zaten hangi dönüşümü yapacağımız verilmiş: $u = x^3 + 4$. Bu, integralin paydasındaki ifadeyi temsil ediyor.

• Adım 2: $du$ ifadesini bul.

  Dönüşüm yaparken sadece $u$ değil, aynı zamanda $dx$ yerine ne yazacağımızı da bulmamız gerekir. Bunun için $u$ ifadesinin $x$'e göre türevini alıp $du$ ifadesini elde ederiz:

  • $u = x^3 + 4$
  • Her iki tarafın $x$'e göre türevini alalım: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 4)$
  • Türev alma kurallarını uygulayalım: $\frac{du}{dx} = 3x^2 + 0$
  • Yani, $\frac{du}{dx} = 3x^2$
  • Şimdi $du$ ifadesini yalnız bırakmak için $dx$'i karşıya çarpım olarak atalım: $du = 3x^2 dx$.
• Adım 3: Orijinal integraldeki ifadeleri $u$ ve $du$ cinsinden yaz.

  Şimdi orijinal integralimiz olan $\int \frac{3x^2}{x^3+4} dx$ ifadesine geri dönelim ve bulduğumuz $u$ ve $du$ ifadelerini yerine koymaya çalışalım:

  • Paydadaki ifade: $x^3+4$ yerine $u$ yazabiliriz.
  • Paydaki ifade ve $dx$: $3x^2 dx$ ifadesi, Adım 2'de bulduğumuz $du$ ifadesine tam olarak eşit! Yani $3x^2 dx = du$.
• Adım 4: Dönüşümleri integralde yerine koy ve yeni formu belirle.

  Bulduğumuz dönüşümleri integralde yerine yazalım:

  $\int \frac{\overbrace{3x^2 dx}^{du}}{\underbrace{x^3+4}_{u}}$

  Bu ifadeyi düzenlediğimizde integralin yeni formu şu şekilde olur:

  $\int \frac{du}{u}$ veya $\int \frac{1}{u} du$

Bu sonuç, seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.