u-dönüşümü nedir Test 1

∫e^(5x) dx integralinde u = 5x dönüşümü uygulanırsa, integralin sonucu aşağıdakilerden hangisi olur?

A) 5e^(5x) + C
B) (1/5)e^(5x) + C
C) e^(5x) + C
D) (1/5)e^(x) + C

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, integral alma konusunda çok önemli bir teknik olan değişken değiştirme (u-substitüsyonu) yöntemini kullanarak bir soruyu adım adım çözeceğiz. Bu yöntem, daha karmaşık görünen integralleri temel integral kurallarına indirgememizi sağlar. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Dönüşümü ve İntegrali Belirleyelim

Bize verilen integral $\int e^{5x} dx$ ve uygulanacak dönüşüm $u = 5x$. Amacımız, bu integrali $u$ cinsinden ifade edip çözmek ve sonra tekrar $x$ cinsinden yazmak.

• Adım 2: $du$ İfadesini Bulalım

Dönüşümümüz $u = 5x$ olduğuna göre, $u$'nun $x$'e göre türevini alarak $du$ ifadesini bulmalıyız. Her iki tarafın diferansiyelini alalım:

$u = 5x$

$du = d(5x)$

$du = 5 dx$

Bu adımda, $u$'nun $x$'e göre türevi olan $5$'i bulduk ve yanına $dx$ ekleyerek $du$ ifadesini elde ettik.

• Adım 3: $dx$ İfadesini $du$ Cinsinden Yazalım

Şimdi, integraldeki $dx$ yerine ne yazacağımızı bulmak için $du = 5 dx$ eşitliğini $dx$ için çözelim:

$dx = \frac{1}{5} du$

Bu ifadeyi orijinal integralde kullanacağız.

• Adım 4: İntegrali $u$ Cinsinden Yeniden Yazalım

Şimdi orijinal integralimizdeki $5x$ yerine $u$ ve $dx$ yerine $\frac{1}{5} du$ yazalım:

$\int e^{5x} dx = \int e^u \left(\frac{1}{5} du\right)$

Sabit çarpanı integral dışına alabiliriz:

$= \frac{1}{5} \int e^u du$

Gördüğünüz gibi, integralimiz artık çok daha basit bir hale geldi!

• Adım 5: İntegrali Çözelim

Temel integral kurallarından biliyoruz ki, $e^u$'nun integrali yine $e^u$'dur. İntegral sabiti $C$'yi de eklemeyi unutmayalım:

$= \frac{1}{5} (e^u + C)$

$= \frac{1}{5} e^u + \frac{1}{5} C$

Buradaki $\frac{1}{5} C$ ifadesi de bir sabit olduğu için, onu yine $C$ olarak yazabiliriz:

$= \frac{1}{5} e^u + C$

• Adım 6: Sonucu Tekrar $x$ Cinsinden Yazalım

İntegrali çözdük, ancak sonuç $u$ cinsinden. Soru bizden $x$ cinsinden bir cevap beklediği için, başlangıçtaki dönüşümümüz olan $u = 5x$ ifadesini yerine koyalım:

$= \frac{1}{5} e^{5x} + C$

İşte bu, integralimizin nihai sonucudur!

Şimdi bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım:

A) $5e^{5x} + C$

B) $(1/5)e^{5x} + C$

C) $e^{5x} + C$

D) $(1/5)e^{x} + C$

Bulduğumuz sonuç $(1/5)e^{5x} + C$ olduğu için, doğru seçenek B'dir.

Cevap B seçeneğidir.