u-dönüşümü nedir Test 1

∫(4x³)/(x⁴+8) dx integralini hesaplamak için u-dönüşümü yapılıyor.
Hangi u değeri için bu integral en basit şekle dönüşür?

A) u = x³
B) u = x⁴
C) u = x⁴ + 8
D) u = 4x³

Merhaba öğrenciler!

Bu soruda, verilen integralin $u$-dönüşümü ile en basit şekle dönüşmesi için hangi $u$ değerini seçmemiz gerektiğini bulacağız. $u$-dönüşümünün temel amacı, karmaşık görünen bir integrali daha basit, bilinen bir forma dönüştürmektir.

• Adım 1: İntegrali İnceleyelim

  İntegralimiz $\int \frac{4x^3}{x^4+8} dx$ şeklindedir. Kesirli bir ifade görüyoruz. $u$-dönüşümünde genellikle paydanın tamamını veya bir kısmını ya da bir fonksiyonun içindeki ifadeyi $u$ olarak seçmek işe yarar.

• Adım 2: Potansiyel $u$ Değerlerini Değerlendirelim

  Seçeneklerde verilen $u$ değerlerini tek tek inceleyelim ve her birinin $du$ değerini hesaplayarak integralin nasıl değişeceğine bakalım:

  • A) $u = x^3$:

    Eğer $u = x^3$ seçersek, $du = 3x^2 dx$ olur. İntegralde $4x^3$ ve $x^4+8$ ifadeleri var. $du$ ifadesi, integraldeki $4x^3 dx$ ile doğrudan eşleşmiyor ve paydadaki $x^4+8$ ifadesini $u$ cinsinden yazmak karmaşık olacaktır. Bu seçim integrali basitleştirmez.

  • B) $u = x^4$:

    Eğer $u = x^4$ seçersek, $du = 4x^3 dx$ olur. Bu durumda, integraldeki pay kısmı olan $4x^3 dx$ ifadesi doğrudan $du$ olur. Payda ise $x^4+8$ olduğundan, $u+8$ şeklinde yazılabilir. İntegral $\int \frac{du}{u+8}$ şekline dönüşür. Bu, çözülebilir bir integral olsa da, daha da basitleştirme potansiyeli olabilir.

  • C) $u = x^4 + 8$:

    Eğer $u = x^4 + 8$ seçersek, $du$ değerini hesaplayalım:

    $du = \frac{d}{dx}(x^4+8) dx = (4x^3 + 0) dx = 4x^3 dx$.

    Şimdi integralimize geri dönelim: $\int \frac{4x^3}{x^4+8} dx$.

    Gördüğümüz gibi, paydadaki $x^4+8$ ifadesi tam olarak $u$ oldu. Paydaki $4x^3 dx$ ifadesi ise tam olarak $du$ oldu.

    Böylece integralimiz $\int \frac{du}{u}$ şekline dönüşür.

  • D) $u = 4x^3$:

    Eğer $u = 4x^3$ seçersek, $du = 12x^2 dx$ olur. Bu $du$ değeri, integraldeki diğer kısımlarla kolayca eşleşmez ve paydadaki ifadeyi $u$ cinsinden yazmak zor olur. Bu seçim de integrali basitleştirmez.

• Adım 3: En Basit Şekli Belirleyelim

  Seçenekleri değerlendirdiğimizde:

  • $u = x^4$ seçimi integrali $\int \frac{du}{u+8}$ yapar.
  • $u = x^4 + 8$ seçimi integrali $\int \frac{du}{u}$ yapar.

  Her iki form da çözülebilir olsa da, $\int \frac{du}{u}$ formu, $\int \frac{du}{u+8}$ formuna göre daha temel ve "en basit" şekildir. Bu form, doğrudan doğal logaritma integralidir: $\ln|u| + C$.

Bu nedenle, integralin en basit şekle dönüşmesini sağlayan $u$ değeri $u = x^4 + 8$'dir.

Cevap C seçeneğidir.