u-dönüşümü nedir Test 1

∫cos(4x-1) dx integralini hesaplamak için u-dönüşümü kullanılıyor.
u = 4x - 1 seçildiğinde integralin sonucu nedir?

A) 4sin(4x-1) + C
B) -4sin(4x-1) + C
C) (1/4)sin(4x-1) + C
D) -(1/4)sin(4x-1) + C

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, integral hesaplamada çok sık kullandığımız ve karmaşık görünen integralleri basitleştirmemizi sağlayan "u-dönüşümü" tekniğini kullanarak bir soruyu adım adım çözeceğiz. Amacımız, bu tekniği nasıl uygulayacağımızı ve her adımın nedenini anlamak.

Sorumuz: $\int \cos(4x-1) dx$ integralini hesaplamak için $u$-dönüşümü kullanılıyor. $u = 4x - 1$ seçildiğinde integralin sonucu nedir?

• Adım 1: u-dönüşümünü tanımlama.

  Bize verilen integral $\int \cos(4x-1) dx$ şeklindedir. Eğer integralin içindeki ifade sadece $x$ olsaydı, $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$ olduğunu bilirdik. Ancak burada $4x-1$ gibi daha karmaşık bir ifade var. İşte bu noktada $u$-dönüşümü devreye girer. İçteki karmaşık ifadeyi $u$ olarak tanımlayarak integrali basitleştirmeyi hedefleriz.

  Soruda bize $u = 4x - 1$ olarak seçmemiz gerektiği belirtilmiş.

• Adım 2: $du$ ifadesini bulma.

  $u$-dönüşümü yaptığımızda, integraldeki $dx$ terimini de $du$ cinsinden yazmamız gerekir. Bunun için, $u$ ifadesinin $x$'e göre türevini alırız:

  $u = 4x - 1$

  Her iki tarafın $x$'e göre türevini alırsak:

  $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(4x - 1)$

  $\frac{du}{dx} = 4 - 0$

  $\frac{du}{dx} = 4$

  Şimdi $du$ ifadesini yalnız bırakmak için $dx$'i karşıya atarız:

  $du = 4 dx$

• Adım 3: $dx$ ifadesini $du$ cinsinden yazma.

  İntegralimizdeki $dx$ terimini $du$ cinsinden yazabilmek için, $du = 4 dx$ eşitliğinden $dx$'i çekmeliyiz:

  $dx = \frac{1}{4} du$

• Adım 4: İntegrali $u$ cinsinden yeniden yazma.

  Şimdi orijinal integralimizdeki $4x-1$ yerine $u$'yu ve $dx$ yerine $\frac{1}{4} du$'yu koyalım:

  Orijinal integral: $\int \cos(4x-1) dx$

  u-dönüşümü sonrası: $\int \cos(u) \left(\frac{1}{4} du\right)$

  Sabit bir sayıyı integral dışına alabiliriz:

  $\frac{1}{4} \int \cos(u) du$

• Adım 5: İntegrali hesaplama.

  Artık integralimiz çok daha basit bir hale geldi. $\int \cos(u) du$ integralinin $\sin(u) + C$ olduğunu biliyoruz. (Buradaki $C$ integral sabitidir.)

  Öyleyse, integralimiz:

  $\frac{1}{4} (\sin(u) + C)$

  $\frac{1}{4} \sin(u) + \frac{1}{4} C$

  Buradaki $\frac{1}{4} C$ yine bir sabit sayı olduğundan, onu tekrar $C$ olarak yazabiliriz.

  $\frac{1}{4} \sin(u) + C$

• Adım 6: $u$ yerine orijinal ifadeyi geri yazma.

  İntegralimizin sonucunu $u$ cinsinden bulduk, ancak sorumuz $x$ cinsindendi. Bu yüzden, başlangıçta yaptığımız $u = 4x - 1$ dönüşümünü geri almalıyız:

  $\frac{1}{4} \sin(4x-1) + C$

Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.