u-dönüşümü nedir Test 1

∫(6x²+4x)/(2x³+2x²+5) dx integrali için en uygun u-dönüşümü hangisidir?

A) u = 2x³ + 2x² + 5
B) u = 6x² + 4x
C) u = x²
D) u = 2x³

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, integral alma tekniklerinden biri olan u-dönüşümünü kullanarak bir integrali nasıl basitleştireceğimizi öğreneceğiz. Amacımız, verilen integral için en uygun u-dönüşümünü bulmaktır.

İntegralimiz: $\int \frac{6x^2+4x}{2x^3+2x^2+5} dx$

U-dönüşümünün temel mantığı, integralin içindeki karmaşık bir ifadeyi 'u' ile değiştirerek integrali daha basit bir forma dönüştürmektir. Genellikle, bir fonksiyonun türevinin de integralde bulunduğu durumlarda u-dönüşümü çok işe yarar.

• Adım 1: U-dönüşümü için aday belirleme

  Bir kesirli ifadede, genellikle paydanın tamamı veya bir kısmı 'u' için iyi bir aday olabilir. Çünkü paydanın türevi, payda bulunan ifadeyi sadeleştirmemize yardımcı olabilir.

  Bu integralde payda $2x^3+2x^2+5$ şeklindedir.

• Adım 2: Seçenek A'yı inceleyelim: $u = 2x^3 + 2x^2 + 5$

  Eğer $u = 2x^3 + 2x^2 + 5$ seçersek, şimdi $du$'yu bulmamız gerekir. $du$, $u$'nun $x$'e göre türevi ile $dx$'in çarpımıdır.

  $du = \frac{d}{dx}(2x^3 + 2x^2 + 5) dx$

  $du = (2 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 0) dx$

  $du = (6x^2 + 4x) dx$

  Şimdi orijinal integrale geri dönelim: $\int \frac{6x^2+4x}{2x^3+2x^2+5} dx$

  Gördüğümüz gibi, payda tam olarak $u$'ya eşit ve paydaki ifade $(6x^2+4x) dx$ ise tam olarak $du$'ya eşit!

  Bu durumda integralimiz şu hale gelir: $\int \frac{1}{u} du$

  Bu, çok daha basit ve çözümü bilinen bir integraldir: $\ln|u| + C$.

• Adım 3: Diğer seçenekleri kısaca değerlendirelim
  • B) $u = 6x^2 + 4x$: Eğer payı $u$ olarak seçseydik, $du = (12x+4) dx$ olurdu. Bu ifade, paydadaki $2x^3+2x^2+5$ ifadesini basitleştirmemize yardımcı olmazdı.
  • C) $u = x^2$: Bu seçim, integralin hiçbir bölümünü tam olarak kapsamaz ve $du = 2x dx$ ile integrali basitleştirmek zor olurdu.
  • D) $u = 2x^3$: Bu seçim, paydanın sadece bir kısmını kapsar ve $du = 6x^2 dx$ ile yine integrali kolayca çözülebilir bir forma dönüştürmezdi.

Sonuç olarak, $u = 2x^3 + 2x^2 + 5$ seçimi, integraldeki payda ifadesini 'u'ya, paydaki ifadeyi ise 'du'ya dönüştürerek integrali en uygun ve çözülebilir forma getirir.

Cevap A seçeneğidir.