Merhaba sevgili öğrenciler, integral alma konusunda sıkça kullandığımız bir yöntem olan değişken değiştirme (u-substitüsyonu) yöntemini kullanarak bu soruyu adım adım çözelim. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Dönüşümü Anlama ve $du$ Değerini Bulma
- Soruda bize $u = 3x + 7$ dönüşümü yapmamız gerektiği söyleniyor. Bu dönüşümü kullanarak integralimizi $x$ cinsinden değil, $u$ cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Bunun için $dx$ ifadesini de $du$ cinsinden yazmalıyız.
- $u = 3x + 7$ ifadesinin her iki tarafının $x$'e göre türevini alalım:
- $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x + 7)$
- $\frac{du}{dx} = 3$
- Şimdi $dx$ ifadesini yalnız bırakmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
- $du = 3 dx$
- Buradan $dx = \frac{1}{3} du$ elde ederiz.
- Adım 2: İntegrali $u$ Cinsinden Yeniden Yazma
- Şimdi elimizdeki orijinal integral $\int \frac{5}{3x+7} dx$ ifadesini $u$ ve $du$ cinsinden yazalım.
- $3x+7$ yerine $u$ yazıyoruz.
- $dx$ yerine $\frac{1}{3} du$ yazıyoruz.
- İntegralimiz şu hale gelir: $\int \frac{5}{u} \left(\frac{1}{3} du\right)$
- Adım 3: Sabitleri İntegral Dışına Çıkarma
- İntegral alma işlemine başlamadan önce sabit sayıları integral dışına alabiliriz. Buradaki sabitler $5$ ve $\frac{1}{3}$'tür.
- $\int \frac{5}{u} \left(\frac{1}{3} du\right) = \frac{5}{3} \int \frac{1}{u} du$
- Adım 4: İntegral Alma
- Şimdi $\int \frac{1}{u} du$ integralini almamız gerekiyor. Bu, temel integral kurallarından biridir.
- $\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C$ (Buradaki $C$ integral sabitidir.)
- O halde, integralimizin sonucu: $\frac{5}{3} (\ln|u| + C) = \frac{5}{3} \ln|u| + \frac{5}{3}C$. Yeni sabitimize yine $C$ diyebiliriz.
- Yani, $\frac{5}{3} \ln|u| + C$
- Adım 5: $u$ Yerine Tekrar $x$ Cinsinden İfadeyi Yazma
- İntegralimizin sonucunu $u$ cinsinden bulduk. Ancak sorunun orijinal hali $x$ cinsinden olduğu için, sonucumuzu da $x$ cinsinden ifade etmeliyiz.
- $u = 3x + 7$ olduğunu biliyoruz. Bu değeri yerine yazalım:
- $\frac{5}{3} \ln|3x+7| + C$
Bu sonuç, seçeneklerimize baktığımızda B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
