Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu integral sorusunu çözmek için u-dönüşümü yöntemini adım adım uygulayacağız. Bu yöntem, karmaşık görünen integralleri daha basit, temel integral formlarına dönüştürmemizi sağlar.
- Adım 1: u-dönüşümünü tanımlama ve $du$ değerini bulma
- Soruda bize $u = 2x^4 + 1$ olarak verilmiş. Bu, integralin paydasındaki ifadeyi temsil ediyor.
- Şimdi $u$'nun $x$'e göre türevini alarak $du$ değerini bulmalıyız. $du = \frac{du}{dx} dx$ formülünü kullanacağız.
- $u = 2x^4 + 1$ ifadesinin $x$'e göre türevi:
- $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^4 + 1)$
- $\frac{du}{dx} = 2 \cdot 4x^{4-1} + 0$
- $\frac{du}{dx} = 8x^3$
- Bu durumda, $du = 8x^3 dx$ olur.
- Adım 2: İntegrali u ve du cinsinden yeniden yazma
- Orijinal integralimiz $\int \frac{8x^3}{2x^4+1} dx$ idi.
- Adım 1'de bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
- Paydadaki $2x^4+1$ yerine $u$ yazacağız.
- Paydaki $8x^3 dx$ ifadesi yerine $du$ yazacağız.
- Böylece integralimiz şu hale gelir: $\int \frac{du}{u}$.
- Adım 3: Yeni integrali hesaplama
- $\int \frac{1}{u} du$ şeklindeki integral, temel integral formüllerinden biridir.
- Bu integralin sonucu $\ln|u| + C$ şeklindedir. ($C$ integral sabitidir.)
- Adım 4: u yerine orijinal ifadeyi geri yazma
- İntegrali $u$ cinsinden çözdükten sonra, $u$'nun başlangıçtaki $x$ cinsinden karşılığını yerine koymalıyız.
- Hatırlayalım ki $u = 2x^4 + 1$ idi.
- Bu durumda, $\ln|u| + C$ ifadesi $\ln|2x^4+1| + C$ olur.
Böylece integralin sonucunu $\ln|2x^4+1| + C$ olarak bulmuş olduk.
Seçeneklere baktığımızda, bu sonuç A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
