Aşağıdaki sembolik mantık ifadelerinden hangisi totoloji değildir?
A) \( p \lor \lnot p \)
B) \( p \rightarrow p \)
C) \( p \land \lnot p \)
D) \( (p \rightarrow q) \lor (q \rightarrow p) \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, sembolik mantık ifadelerinden hangisinin totoloji olmadığını bulmamız isteniyor. Öncelikle bir totolojinin ne olduğunu hatırlayalım:
- Totoloji: Bir önermenin doğruluk değeri, içerdiği tüm önerme değişkenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız olarak her zaman doğru (T) ise, o önermeye totoloji denir. Yani, bir totoloji her koşulda doğru olan bir ifadedir.
- Totoloji olmayan bir ifade, en az bir durumda yanlış (F) değerini alabilen bir ifadedir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $ p \lor \lnot p $
- Bu ifade "p veya p'nin değili" anlamına gelir.
- Eğer $p$ doğru (T) ise, $T \lor \lnot T = T \lor F = T$.
- Eğer $p$ yanlış (F) ise, $F \lor \lnot F = F \lor T = T$.
- Her iki durumda da ifade doğru olduğu için, $ p \lor \lnot p $ bir totolojidir. Bu, "Üçüncü Halin İmkansızlığı Yasası" olarak da bilinir.
- B) $ p \rightarrow p $
- Bu ifade "eğer p ise p" anlamına gelir.
- Eğer $p$ doğru (T) ise, $T \rightarrow T = T$.
- Eğer $p$ yanlış (F) ise, $F \rightarrow F = T$.
- Her iki durumda da ifade doğru olduğu için, $ p \rightarrow p $ bir totolojidir.
- C) $ p \land \lnot p $
- Bu ifade "p ve p'nin değili" anlamına gelir.
- Eğer $p$ doğru (T) ise, $T \land \lnot T = T \land F = F$.
- Eğer $p$ yanlış (F) ise, $F \land \lnot F = F \land T = F$.
- Her iki durumda da ifade yanlış olduğu için, $ p \land \lnot p $ bir totoloji değildir. Aslında bu ifadeye "çelişki" denir, çünkü her zaman yanlıştır.
- D) $ (p \rightarrow q) \lor (q \rightarrow p) $
- Bu ifadeyi doğruluk tablosu ile inceleyelim:
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $q \rightarrow p$ | $(p \rightarrow q) \lor (q \rightarrow p)$ |
|---|
| T | T | T | T | T $\lor$ T = T |
| T | F | F | T | F $\lor$ T = T |
| F | T | T | F | T $\lor$ F = T |
| F | F | T | T | T $\lor$ T = T |
- Tablodan da görüldüğü gibi, ifadenin doğruluk değeri her zaman doğru (T) olduğu için, $ (p \rightarrow q) \lor (q \rightarrow p) $ bir totolojidir.
İncelemelerimiz sonucunda, sadece $ p \land \lnot p $ ifadesinin her zaman yanlış olduğunu, dolayısıyla bir totoloji olmadığını gördük.
Cevap C seçeneğidir.
