Bu soruyu çözmek için "iki kare farkı özdeşliği"ni kullanmamız gerekiyor. Bu özdeşlik, çarpma işlemlerini daha kolay ve hızlı yapmamızı sağlayan önemli bir matematiksel kuraldır.
- İki Kare Farkı Özdeşliği Nedir?
- İki kare farkı özdeşliği şu şekildedir: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Bu özdeşlik, iki sayının karelerinin farkının, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşit olduğunu ifade eder.
- Verilen İşlemi Özdeşliğe Uygun Hale Getirme:
- Hesaplamamız gereken işlem $99 \times 101$'dir. Bu ifadeyi iki kare farkı özdeşliğinin sağ tarafı olan $(a - b)(a + b)$ şekline benzetmeye çalışmalıyız.
- $99$ sayısını, $100$'e yakın olduğu için $100 - 1$ olarak yazabiliriz.
- $101$ sayısını da $100$'e yakın olduğu için $100 + 1$ olarak yazabiliriz.
- Böylece, $99 \times 101$ işlemi $(100 - 1) \times (100 + 1)$ şekline dönüşür.
- Özdeşliği Uygulama:
- Şimdi $(100 - 1) \times (100 + 1)$ ifadesini iki kare farkı özdeşliği olan $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ ile karşılaştıralım.
- Burada $a = 100$ ve $b = 1$ olduğunu açıkça görebiliriz.
- Özdeşliği uyguladığımızda, $(100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2$ sonucunu elde ederiz. Bu ifade, $100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999$ olarak kolayca hesaplanabilir.
- Seçenekleri Değerlendirme:
- Şimdi bulduğumuz bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(100 - 1)^2$: Bu, bir farkın karesidir ($a^2 - 2ab + b^2$), iki kare farkı değildir.
- B) $(100 + 1)^2$: Bu, bir toplamın karesidir ($a^2 + 2ab + b^2$), iki kare farkı değildir.
- C) $100^2 - 1^2$: Bu, tam olarak iki kare farkı özdeşliğinin sonucudur ve bizim bulduğumuz ifadeyle aynıdır.
- D) $100^2 + 1^2$: Bu, iki sayının karelerinin toplamıdır, iki kare farkı değildir.
Bu adımları izleyen bir öğrenci, doğru seçeneğin C olduğunu kolayca belirleyebilir.
Cevap C seçeneğidir.
