9. Sınıf Özdeşlikler Nedir? Test 1

\( (x + y)^2 = 36 \) ve \( x^2 + y^2 = 20 \) olduğuna göre, \( x \cdot y \) çarpımı kaçtır?

A) 4
B) 8
C) 12
D) 16

Sevgili öğrenciler, bu problemde bize iki denklem verilmiş ve $ x \cdot y $ çarpımının değerini bulmamız isteniyor. Bu tür problemlerde genellikle cebirsel özdeşliklerden faydalanırız. İşte adım adım çözüm:

• Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize verilen denklemler şunlardır:

  $ (x + y)^2 = 36 $

  $ x^2 + y^2 = 20 $

  Bizden istenen ise $ x \cdot y $ çarpımının değeridir.

• Birinci Denklemi Genişletelim:

  İlk denklem olan $ (x + y)^2 = 36 $ ifadesini ele alalım. Tam kare özdeşliğini hatırlayalım: $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $. Bu özdeşliği $ (x + y)^2 $ ifadesine uygulayalım:

  $ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $

  Şimdi bu genişletilmiş ifadeyi ilk denklemdeki yerine yazalım:

  $ x^2 + 2xy + y^2 = 36 $

• Terimleri Yeniden Düzenleyelim:

  Denklemdeki terimleri biraz düzenleyerek $ x^2 $ ve $ y^2 $ terimlerini bir araya getirelim. Bu, ikinci verilen bilgiyi kullanmamızı kolaylaştıracaktır:

  $ (x^2 + y^2) + 2xy = 36 $

• İkinci Verilen Bilgiyi Kullanalım:

  Bize ikinci bir bilgi olarak $ x^2 + y^2 = 20 $ verilmişti. Bu değeri, az önce düzenlediğimiz denklemdeki $ (x^2 + y^2) $ yerine koyalım:

  $ 20 + 2xy = 36 $

• $ 2xy $ İfadesini Bulalım:

  Şimdi amacımız $ xy $ çarpımını bulmak. Öncelikle $ 2xy $ ifadesini yalnız bırakalım. Bunun için denklemin her iki tarafından $ 20 $ çıkaralım:

  $ 20 + 2xy - 20 = 36 - 20 $

  $ 2xy = 16 $

• $ xy $ Çarpımını Bulalım:

  $ 2xy = 16 $ denklemini elde ettik. Şimdi $ xy $ çarpımını bulmak için denklemin her iki tarafını $ 2 $ ile bölelim:

  $ \frac{2xy}{2} = \frac{16}{2} $

  $ xy = 8 $

Böylece $ x \cdot y $ çarpımının değerini $ 8 $ olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.