Bir firmanın günlük kârı P(x) = -2x² + 80x - 600 denklemiyle modellenmiştir, burada x satılan ürün sayısını göstermektedir.
Maksimum kâr için kaç ürün satılmalıdır?
Sevgili öğrenciler, bu problemde bir firmanın günlük kârını gösteren bir denklem verilmiş ve bizden maksimum kâr için kaç ürün satılması gerektiğini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, genellikle parabol şeklindeki fonksiyonlarla ilgilidir ve tepe noktasını bulma yöntemini kullanırız.
Verilen kâr denklemi $P(x) = -2x^2 + 80x - 600$ şeklindedir. Bu bir ikinci dereceden denklemdir (kuadratik fonksiyon). Burada $P(x)$ kârı, $x$ ise satılan ürün sayısını temsil eder.
İkinci dereceden denklemlerin grafikleri bir paraboldür. $x^2$'nin katsayısı (burada $-2$) negatif olduğu için, bu parabol aşağıya doğru açılır. Aşağıya doğru açılan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değeri temsil eder. Bizim aradığımız da bu maksimum kârı sağlayan $x$ değeri, yani tepe noktasının $x$ koordinatıdır.
Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c$ şeklinde olduğunda, tepe noktasının $x$ koordinatı (maksimum veya minimum değeri veren $x$ değeri) şu formülle bulunur:
$x = -\frac{b}{2a}$
Bizim denklemimiz $P(x) = -2x^2 + 80x - 600$. Bu denklemi genel form olan $ax^2 + bx + c$ ile karşılaştırırsak:
$a = -2$ (Bu katsayı negatif olduğu için parabol aşağı açılır ve bir maksimum değeri vardır.)
$b = 80$
$c = -600$
Şimdi bulduğumuz $a$ ve $b$ değerlerini tepe noktasının $x$ koordinatı formülüne yerleştirelim:
$x = -\frac{b}{2a}$
$x = -\frac{80}{2 \times (-2)}$
$x = -\frac{80}{-4}$
$x = 20$
Bulduğumuz $x = 20$ değeri, firmanın maksimum kâr elde etmesi için satması gereken ürün sayısını göstermektedir. Yani, 20 ürün satıldığında kâr en yüksek seviyeye ulaşacaktır.
Bu durumda, maksimum kâr için 20 ürün satılmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
